Geomatemáticas

La dinámica de fluidos geofísicos desarrolla la teoría de la dinámica de fluidos para la atmósfera, el océano y el interior de la Tierra. ^{[ 1 ]} Las aplicaciones incluyen la geodinámica y la teoría de la geodinamo .

La teoría geofísica inversa se ocupa del análisis de datos geofísicos para obtener parámetros de modelos. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Se centra en la pregunta: ¿Qué se puede saber sobre el interior de la Tierra a partir de mediciones en la superficie? Generalmente, existen límites a lo que se puede saber incluso en el límite ideal de datos exactos. ^{[ 4 ]}

El objetivo de la teoría inversa es determinar la distribución espacial de alguna variable (por ejemplo, la densidad o la velocidad de las ondas sísmicas). Esta distribución determina los valores de una magnitud observable en la superficie (por ejemplo, la aceleración gravitatoria para la densidad). Es necesario contar con un modelo directo que prediga las observaciones de la superficie a partir de la distribución de dicha variable.

Entre sus aplicaciones se incluyen el geomagnetismo , la magnetotelúrica y la sismología.

Muchos conjuntos de datos geofísicos tienen espectros que siguen una ley de potencias , lo que significa que la frecuencia de una magnitud observada varía como una potencia de la magnitud. Un ejemplo es la distribución de magnitudes de terremotos ; los terremotos pequeños son mucho más comunes que los grandes. Esto suele ser un indicador de que los conjuntos de datos tienen una geometría fractal subyacente . Los conjuntos fractales tienen una serie de características comunes, incluyendo estructura a muchas escalas, irregularidad y autosimilitud (pueden dividirse en partes que se parecen mucho al todo). La forma en que estos conjuntos pueden dividirse determina la dimensión de Hausdorff del conjunto, que generalmente es diferente de la dimensión topológica más familiar . Los fenómenos fractales están asociados con el caos , la criticidad autoorganizada y la turbulencia . ^{[ 5 ]} Fractal Models in the Earth Sciences de Gabor Korvin fue uno de los primeros libros sobre la aplicación de los fractales en las ciencias de la Tierra . ^{[ 6 ]}

La asimilación de datos combina modelos numéricos de sistemas geofísicos con observaciones que pueden ser irregulares en el espacio y el tiempo. Muchas de sus aplicaciones involucran la dinámica de fluidos geofísicos. Los modelos de dinámica de fluidos se rigen por un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales . Para que estas ecuaciones realicen buenas predicciones, se necesitan condiciones iniciales precisas. Sin embargo, a menudo las condiciones iniciales no se conocen con exactitud. Los métodos de asimilación de datos permiten que los modelos incorporen observaciones posteriores para mejorar las condiciones iniciales. La asimilación de datos desempeña un papel cada vez más importante en la predicción meteorológica . ^{[ 7 ]}

Algunos problemas estadísticos se engloban dentro de la geofísica matemática, incluyendo la validación de modelos y la cuantificación de la incertidumbre.

Un área de investigación importante que utiliza métodos inversos es la tomografía sísmica , una técnica para obtener imágenes del subsuelo terrestre mediante ondas sísmicas . Tradicionalmente, se utilizaban ondas sísmicas producidas por terremotos o fuentes sísmicas antropogénicas (por ejemplo, explosivos, cañones de aire comprimido marinos).

La cristalografía es una de las áreas tradicionales de la geología que utiliza las matemáticas . Los cristalógrafos emplean el álgebra lineal mediante la matriz métrica . Esta matriz utiliza los vectores base de las dimensiones de la celda unitaria para calcular el volumen de la celda, los espaciados interplanares (d), el ángulo entre dos planos, el ángulo entre átomos y la longitud de enlace. ^{[ 8 ]} El índice de Miller también resulta útil en la aplicación de la matriz métrica . La ecuación de Brag también es útil al utilizar un microscopio electrónico para mostrar la relación entre los ángulos de difracción de la luz, la longitud de onda y los espaciados interplanares dentro de una muestra. ^{[ 8 ]}

La geofísica es una de las disciplinas más matemáticas de las Ciencias de la Tierra . Tiene muchas aplicaciones, incluyendo gravedad , magnetismo , sísmica , electricidad , electromagnetismo , resistividad , radiactividad, polarización inducida y registro de pozos . ^{[ 9 ]} Los métodos de gravedad y magnetismo comparten características similares porque miden pequeños cambios en el campo gravitatorio basados ​​en la densidad de las rocas en esa área. ^{[ 9 ]} Si bien los campos gravitatorios similares tienden a ser más uniformes y suaves en comparación con los campos magnéticos . La gravedad se usa a menudo para la exploración de petróleo y la sísmica también se puede usar, pero suele ser significativamente más costosa. ^{[ 9 ]} La sísmica se usa más que la mayoría de las técnicas geofísicas debido a su capacidad de penetración, su resolución y su precisión.

Muchas aplicaciones de las matemáticas en geomorfología están relacionadas con el agua. En el ámbito del suelo , se utilizan conceptos como la ley de Darcy , la ley de Stokes y la porosidad .

• La ley de Darcy se utiliza cuando se tiene un suelo saturado uniforme para describir cómo fluye el fluido a través de ese medio. ^{[ 10 ]} Este tipo de trabajo se enmarcaría dentro de la hidrogeología .
• La ley de Stokes mide la rapidez con la que las partículas de diferentes tamaños se sedimentan en un fluido. ^{[ 10 ]} Se utiliza en el análisis de suelos mediante pipeta para determinar el porcentaje de arena, limo y arcilla. ^{[ 11 ]} Un posible error radica en que asume partículas perfectamente esféricas, lo cual no es cierto.
• La fuerza de la corriente se utiliza para determinar la capacidad de un río para erosionar su lecho . Esto resulta útil para identificar zonas donde un río tiene probabilidades de cambiar de curso o para evaluar los daños causados ​​por la pérdida de sedimentos en un sistema fluvial (como aguas abajo de una presa).
• Las ecuaciones diferenciales se pueden utilizar en múltiples áreas de la geomorfología , incluyendo: la ecuación de crecimiento exponencial , la distribución de rocas sedimentarias, la difusión de gases a través de rocas y las clivajes de crenulación . ^{[ 12 ]}

Las matemáticas aplicadas a la glaciología comprenden la teoría, la experimentación y la modelización. Generalmente abarcan los glaciares , el hielo marino , el flujo del agua y el terreno que se encuentra bajo el glaciar.

El hielo policristalino se deforma más lentamente que el hielo monocristalino, debido a que la tensión se concentra en los planos basales que ya están bloqueados por otros cristales de hielo. ^{[ 13 ]} Se puede modelar matemáticamente con la ley de Hooke para mostrar las características elásticas utilizando las constantes de Lamé . ^{[ 13 ]} Generalmente, las constantes de elasticidad lineal del hielo se promedian en una dimensión del espacio para simplificar las ecuaciones manteniendo la precisión. ^{[ 13 ]}

El hielo policristalino viscoelástico se considera que tiene niveles bajos de tensión , generalmente por debajo de un bar . ^{[ 13 ]} Este tipo de sistema de hielo es donde se prueba la fluencia o las vibraciones debidas a la tensión en el hielo. Una de las ecuaciones más importantes en esta área de estudio es la función de relajación. ^{[ 13 ]} Donde es una relación tensión-deformación independiente del tiempo. ^{[ 13 ]} Esta área se aplica generalmente al transporte o la construcción sobre hielo flotante. ^{[ 13 ]}

La aproximación de hielo poco profundo es útil para glaciares con espesor variable, con poca tensión y velocidad variable. ^{[ 13 ]} Uno de los principales objetivos del trabajo matemático es poder predecir la tensión y la velocidad, las cuales pueden verse afectadas por cambios en las propiedades del hielo y la temperatura. Esta es un área en la que se puede utilizar la fórmula de la tensión cortante basal. ^{[ 13 ]}

• Parker, Robert L. (1994). Teoría inversa geofísica . Princeton University Press . ISBN 0-691-03634-9.
• Pedlosky, Joseph (2005). Dinámica de fluidos geofísicos . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . ISBN 0-89871-572-5.
• Tarantola, Albert (1987). Teoría del problema inverso y métodos para la estimación de parámetros de modelos . Springer-Verlag . ISBN 0-387-96387-1.
• Turcotte, Donald L. (1997). Fractales y caos en geología y geofísica . Cambridge University Press . ISBN 0-521-56164-7.
• Wang, Bin; Zou, Xiaolei; Zhu, Jiang (2000). "Asimilación de datos y sus aplicaciones" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 97 ( 21): 11143– 11144. Bibcode : 2000PNAS...9711143W . doi : 10.1073/pnas.97.21.11143 . PMC 34050. PMID 11027322 .