Teorema de Markov

En matemáticas, el teorema de Markov proporciona condiciones necesarias y suficientes para que dos trenzas tengan cierres que sean nudos o enlaces equivalentes . Estas condiciones se expresan en términos de las estructuras de grupo de las trenzas.

Las trenzas son objetos algebraicos descritos mediante diagramas; su relación con la topología viene dada por el teorema de Alexander , que establece que todo nudo o enlace en el espacio euclidiano tridimensional es la clausura de una trenza . El teorema de Markov, demostrado por el matemático ruso Andrei Andreevich Markov Jr. ^{[ 1 ],} describe los movimientos elementales que generan la relación de equivalencia en las trenzas, dada por la equivalencia de sus clausuras.

Más precisamente, el teorema de Markov se puede enunciar de la siguiente manera: ^{[ 2 ] [ 3 ]} dadas dos trenzas representadas por elementos${\displaystyle \beta _{n},\beta _{m}'}$en los grupos de trenzas${\displaystyle B_{n},B_{m}}$, sus cierres son enlaces equivalentes si y solo si${\displaystyle \beta _{m}'}$se puede obtener solicitando${\displaystyle \beta _{n}}$una secuencia de las siguientes operaciones:

1. conjugando${\displaystyle \beta _{n}}$en${\displaystyle B_{n}}$;
2. reemplazando${\displaystyle \beta _{n}}$por${\displaystyle \beta _{n}\sigma _{n}^{\pm 1}\in B_{n+1}}$(aquí${\displaystyle \sigma _{i}}$son los generadores estándar de los grupos de trenzas; geométricamente esto equivale a agregar una hebra a la derecha del diagrama de trenzas y retorcerla una vez con la hebra (anteriormente) anterior);
3. la inversa de la operación anterior (si${\displaystyle \beta _{n}=\beta _{n-1}\sigma _{n-1}^{\pm 1}}$con${\displaystyle \beta _{n-1}\in B_{n-1}}$reemplazar con${\displaystyle \beta _{n-1}}$).

En 1974, la matemática estadounidense Joan Birman publicó una monografía , Braids, Links, and Mapping Class Groups , basada en un curso de posgrado que impartió como profesora visitante en la Universidad de Princeton en 1971-72; este libro contiene la primera demostración completa del teorema de Markov. ^{[ 4 ]}