Teorema de compacidad de Mahler

En matemáticas , el teorema de compacidad de Mahler , demostrado por Kurt Mahler  (1946), es un resultado fundamental sobre las redes en el espacio euclidiano , que caracteriza a los conjuntos de redes que están "acotados" en un cierto sentido definido. Visto de otra manera, explica las formas en que una red podría degenerar ( irse al infinito ) en una secuencia de redes. En términos intuitivos, dice que esto es posible de solo dos maneras: volviéndose de grano grueso con un dominio fundamental que tiene un volumen cada vez mayor; o conteniendo vectores cada vez más cortos. También se llama su teorema de selección , siguiendo una convención más antigua utilizada para nombrar teoremas de compacidad, porque fueron formulados en términos de compacidad secuencial (la posibilidad de seleccionar una subsecuencia convergente).

Sea X el espacio

${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$

que parametriza los retículos en , con su topología de cociente . Existe una función bien definida Δ en X , que es el valor absoluto del determinante de una matriz – esto es constante en las clases laterales , ya que una matriz entera invertible tiene determinante 1 o −1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El teorema de compacidad de Mahler establece que un subconjunto Y de X es relativamente compacto si y solo si Δ está acotado en Y , y hay un vecindario  N de 0 en tal que para todo Λ en Y , el único punto reticular de Λ en N es el propio 0. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La afirmación del teorema de Mahler es equivalente a la compacidad del espacio de redes de covolumen unitario en cuya sístole es mayor o igual que cualquier fijo . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

El teorema de compacidad de Mahler fue generalizado a los grupos de Lie semisimples por David Mumford ; véase Teorema de compacidad de Mumford .

• William Andrew Coppel (2006), Teoría de números , pág. 418.

• Mahler, Kurt (1946), "Sobre los puntos de la red en cuerpos estelares de dimensión n . I. Teoremas de existencia", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería , 187 : 151–187, doi : 10.1098/rspa.1946.0072 , ISSN  0962-8444, JSTOR  97965, MR  0017753