Modelo girador-condensador

El modelo girador-capacitor ^{[ 1 ]} —a veces también llamado modelo capacitivo-permeancia ^{[ 2 ]} — es un modelo de elementos concentrados para circuitos magnéticos que puede utilizarse en lugar del modelo de resistencia-reluctancia, más común . Este modelo considera los elementos de permeancia análogos a la capacitancia eléctrica en lugar de a la resistencia eléctrica . Los devanados se representan como giradores , que actúan como interfaz entre el circuito eléctrico y el modelo magnético.

La principal ventaja del modelo girador-capacitor en comparación con el modelo de reluctancia magnética es que conserva los valores correctos de flujo, almacenamiento y disipación de energía. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} El modelo girador-capacitor es un ejemplo de un grupo de analogías que preservan el flujo de energía entre dominios energéticos al hacer análogos los pares conjugados de variables en los distintos dominios. Cumple la misma función que la analogía de impedancia para el dominio mecánico.

Nomenclatura

El circuito magnético puede referirse tanto al circuito magnético físico como al circuito magnético modelo. Los elementos y las variables dinámicas que forman parte del circuito magnético modelo tienen nombres que comienzan con el adjetivo magnético , aunque esta convención no se sigue estrictamente. Los elementos o las variables dinámicas del circuito magnético modelo pueden no tener una correspondencia uno a uno con los componentes del circuito magnético físico. Los símbolos de los elementos y las variables que forman parte del circuito magnético modelo pueden escribirse con el subíndice "M". Por ejemplo, $C_{\mathrm {M} }$ En el circuito modelo, se trataría de un condensador magnético.

Los elementos eléctricos de un circuito eléctrico asociado pueden incorporarse al modelo magnético para facilitar el análisis. Los elementos del modelo en el circuito magnético que representan elementos eléctricos suelen ser el dual eléctrico de estos últimos. Esto se debe a que los transductores entre los dominios eléctrico y magnético en este modelo generalmente se representan mediante giradores. Un girador transforma un elemento en su dual. Por ejemplo, una inductancia magnética puede representar una capacitancia eléctrica.

Resumen de la analogía entre circuitos magnéticos y circuitos eléctricos.

La siguiente tabla resume la analogía matemática entre la teoría de circuitos eléctricos y la teoría de circuitos magnéticos.

Girador

Un girador es un elemento de dos puertos utilizado en el análisis de redes. El girador es el complemento del transformador ; mientras que en un transformador, un voltaje en un puerto se transforma en un voltaje proporcional en el otro puerto, en un girador, un voltaje en un puerto se transforma en una corriente en el otro puerto, y viceversa.

En el modelo girador-capacitor, los giradores actúan como transductores entre el dominio de la energía eléctrica y el dominio de la energía magnética. Una fuerza electromotriz (fem) en el dominio eléctrico es análoga a una fuerza magnetomotriz (fmm) en el dominio magnético, y un transductor que realice dicha conversión se representaría como un transformador. Sin embargo, los transductores electromagnéticos reales suelen comportarse como giradores. Un transductor del dominio magnético al dominio eléctrico obedece la ley de inducción de Faraday , es decir, una tasa de cambio del flujo magnético (una corriente magnética en esta analogía) produce una fem proporcional en el dominio eléctrico. De manera similar, un transductor del dominio eléctrico al dominio magnético obedece la ley circuital de Ampère , es decir, una corriente eléctrica produce una fmm.

Un bobinado de $N$ vueltas se modela mediante un girador con una resistencia de giro de $N$ ohmios. ^{[ 1 ]}^{: 100}

Los transductores que no se basan en la inducción magnética no pueden representarse mediante un girador. Por ejemplo, un sensor de efecto Hall se modela mediante un transformador.

Voltaje magnético

Voltaje magnético , $v_{\mathrm {M} }$ ⁠ , es un nombre alternativo para la fuerza magnetomotriz (mmf), ${\mathcal {F}}$ ( Unidad SI : A , o amperio-vuelta ), que es análoga al voltaje eléctrico en un circuito eléctrico. ^{[ 4 ]}^{: 42}^{[ 3 ]}^{: 5} No todos los autores utilizan el término voltaje magnético . La fuerza magnetomotriz aplicada a un elemento entre el punto $A$ y punto $B$ es igual a la integral de línea a través de la componente de la intensidad del campo magnético , $\mathbf {H}$ : $v_{\mathrm {M} }={\mathcal {F}}=-\int _{A}^{B}\mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}.$ El modelo de resistencia-reluctancia utiliza la misma equivalencia entre voltaje magnético y fuerza magnetomotriz.

corriente magnética

Corriente magnética , $i_{\mathrm {M} }$ ⁠ , es un nombre alternativo para la tasa de cambio de flujo en el tiempo , ${\dot {\Phi }}$ ( Unidad SI : Wb /seg o voltios ), que es análoga a la corriente eléctrica en un circuito eléctrico. ^{[ 2 ]}^{: 2429}^{[ 4 ]}^{: 37} En el circuito físico , ${\dot {\Phi }}$ ⁠ , es corriente de desplazamiento magnético .^{[ 4 ]}^{: 37} La corriente magnética que fluye a través de un elemento de sección transversal, ⁠ $S$ ⁠ , es la integral de área de la densidad de flujo magnético ⁠ $\mathbf {B}$ : $i_{\mathrm {M} }={\dot {\Phi }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} \mathbf {S} .$ El modelo de resistencia-reluctancia utiliza una equivalencia diferente, tomando la corriente magnética como un nombre alternativo para el flujo , $\Phi$ Esta diferencia en la definición de corriente magnética es la diferencia fundamental entre el modelo girador-capacitor y el modelo de resistencia-reluctancia. La definición de corriente magnética y voltaje magnético implica las definiciones de los demás elementos magnéticos . ^{[ 4 ]}^{: 35}

capacitancia magnética

La capacitancia magnética es un nombre alternativo para la permeancia ( unidad SI : H ). Se representa mediante una capacitancia en el circuito magnético modelo. Algunos autores utilizan $C_{\mathrm {M} }$ para denotar capacitancia magnética mientras que otros utilizan $P$ y referirse a la capacitancia como una permeancia. La permeancia de un elemento es una propiedad extensiva definida como el flujo magnético , $\Phi$ ⁠ , a través de la superficie de la sección transversal del elemento dividida por la fuerza magnetomotriz , ⁠ ${\mathcal {F}}$ , a través del elemento:^{[ 3 ]}^{: 6} $C_{\mathrm {M} }=P={\frac {\int \mathbf {B} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} \mathbf {S} }{\int \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}}={\frac {\Phi }{\mathcal {F}}}.$

Para una barra de sección transversal uniforme, la capacitancia magnética viene dada por $C_{\mathrm {M} }=P=\mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}{\frac {S}{l}}$ dónde:

$\mu =\mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}$ es la permeabilidad magnética ;
$S$ es la sección transversal del elemento; y
$l$ es la longitud del elemento.

Para el análisis fasorial , la permeabilidad magnética ^{[ 5 ]} y la permeancia son valores complejos. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

La permeabilidad es la inversa de la reluctancia .

inductancia magnética

En el contexto del modelo girador-capacitor de un circuito magnético, la inductancia magnética $L_{\mathrm {M} }$ ( Unidad del SI : F ) es la analogía de la inductancia en un circuito eléctrico.

Para el análisis fasorial, la reactancia inductiva magnética es: $x_{\mathrm {L} }=\omega L_{\mathrm {M} }$ dónde:

$L_{\mathrm {M} }$ es la inductancia magnética
$\omega$ es la frecuencia angular del circuito magnético

En su forma compleja es un número imaginario positivo: $jx_{\mathrm {L} }=j\omega L_{\mathrm {M} }$

La energía potencial magnética sostenida por la inductancia magnética varía con la frecuencia de oscilación de los campos eléctricos. La potencia promedio en un período dado es igual a cero. Debido a su dependencia de la frecuencia, la inductancia magnética se observa principalmente en circuitos magnéticos que operan en frecuencias VHF y/o UHF .

En el modelo girador-capacitor, el concepto de inductancia magnética se emplea en el análisis y el cálculo del comportamiento del circuito de forma análoga a la inductancia en los circuitos eléctricos.

Un inductor magnético puede representar un capacitor eléctrico. ^{[ 4 ]}^{: 43} Una capacitancia en paralelo en el circuito eléctrico, como la capacitancia entre bobinados, puede representarse como una inductancia en serie en el circuito magnético.

Ejemplos

transformador trifásico

Este ejemplo muestra un transformador trifásico modelado mediante el método de girador-capacitor. El transformador en este ejemplo tiene tres devanados primarios y tres secundarios. El circuito magnético se divide en siete elementos de reluctancia o permeancia. Cada devanado se modela mediante un girador. La resistencia de giro de cada girador es igual al número de espiras del devanado correspondiente. Cada elemento de permeancia se modela mediante un condensador. El valor de cada condensador en faradios es igual a la inductancia de la permeancia correspondiente en henrios .

⁠ $N_{1}$ , $N_{2}$ y $N_{3}$ ⁠ son el número de vueltas en los tres devanados primarios. ⁠ $N_{4}$ , $N_{5}$ y $N_{6}$ ⁠ son el número de vueltas en los tres devanados secundarios. ⁠ $\Phi _{1}$ , $\Phi _{2}$ y $\Phi _{3}$ Los flujos magnéticos en los tres elementos verticales son: flujo magnético en cada elemento de permeancia en webers , igual a la carga en la capacitancia asociada en culombios ; energía en cada elemento de permeancia igual a la energía en la capacitancia asociada.

El esquema muestra un generador trifásico y una carga trifásica, además del esquema del modelo del transformador.

Transformador con entrehierro y flujo de fuga

El método del girador-capacitor permite incorporar la inductancia de fuga y los entrehierros en el circuito magnético. Los entrehierros y el flujo de fuga poseen una permeancia que puede añadirse al circuito equivalente como si fueran capacitores. La permeancia del entrehierro se calcula de la misma forma que la de los elementos principales, con la salvedad de que se utiliza una permeabilidad relativa unitaria. La permeancia del flujo de fuga puede ser difícil de calcular debido a su geometría compleja. Puede calcularse a partir de otros datos, como mediciones o especificaciones.

⁠ $C_{\mathrm {PL} }$ y $C_{\mathrm {SL} }$ ⁠ representan la inductancia de fuga primaria y secundaria respectivamente . $C_{\text{GAP}}$ ⁠ representa la permeabilidad del espacio de aire.

impedancia magnética

impedancia compleja magnética

La impedancia magnética compleja , también llamada resistencia magnética total, es el cociente de una tensión magnética sinusoidal compleja ( fuerza magnetomotriz ). ${\mathcal {F}}$ ⁠ , en un circuito magnético pasivo y la corriente magnética sinusoidal compleja resultante ⁠ ${\dot {\Phi }}$ en el circuito. La impedancia magnética es análoga a la impedancia eléctrica .

La impedancia magnética compleja ( unidad SI : S ) se determina mediante: $Z_{\mathrm {M} }={\frac {\mathcal {F}}{\dot {\Phi }}}=z_{\mathrm {M} }e^{j\phi }$ dónde $z_{\mathrm {M} }$ es el módulo de $Z_{\mathrm {M} }$ y $\phi$ es su fase. El argumento de una impedancia magnética compleja es igual a la diferencia de las fases de la tensión magnética y la corriente magnética. La impedancia magnética compleja se puede presentar de la siguiente forma: ${\begin{aligned}Z_{\mathrm {M} }&=z_{\mathrm {M} }e^{j\phi }\\&=z_{\mathrm {M} }\cos \phi +jz_{\mathrm {M} }\sin \phi )\\&=r_{\mathrm {M} }+jx_{\mathrm {M} }\end{aligned}}$ dónde

⁠ $r_{\mathrm {M} }=\operatorname {Re} (Z_{\mathrm {M} })$ ⁠ ⁠ $=z_{\mathrm {M} }\cos \phi$ es la parte real de la impedancia magnética compleja, llamada resistencia magnética efectiva ; y
⁠ $x_{\mathrm {M} }=\operatorname {Im} (Z_{\mathrm {M} })$ ⁠ ⁠ $=z_{\mathrm {M} }\sin \phi$ es la parte imaginaria de la impedancia magnética compleja, llamada resistencia magnética reactiva .

La impedancia magnética es igual a ${\begin{aligned}z_{\mathrm {M} }&={\sqrt {r_{\mathrm {M} }^{2}+x_{\mathrm {M} }^{2}}}\\\phi &=\arctan {\frac {x_{\mathrm {M} }}{r_{\mathrm {M} }}}\end{aligned}}$

resistencia efectiva magnética

La resistencia magnética efectiva es el componente real de la impedancia magnética compleja. Esto provoca que un circuito magnético pierda energía potencial magnética. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} La potencia activa en un circuito magnético es igual al producto de la resistencia magnética efectiva. $r_{\mathrm {M} }$ y corriente magnética al cuadrado $I_{\mathrm {M} }^{2}$ : $P=r_{\mathrm {M} }I_{\mathrm {M} }^{2}.$

La resistencia magnética efectiva en un plano complejo aparece como el lado del triángulo de resistencias para un circuito magnético de corriente alterna. La resistencia magnética efectiva está ligada a la conductancia magnética efectiva. $g_{\mathrm {M} }$ por la expresión $g_{\mathrm {M} }={\frac {r_{\mathrm {M} }}{z_{\mathrm {M} }^{2}}}$ dónde $z_{\mathrm {M} }$ es la impedancia magnética total de un circuito magnético.

reactancia magnética

La reactancia magnética es un parámetro de un circuito magnético pasivo, o de un elemento del circuito, que es igual a la raíz cuadrada de la diferencia de cuadrados de la impedancia magnética compleja y la resistencia magnética efectiva a una corriente magnética, tomada con signo positivo si la corriente magnética está desfasada con respecto a la tensión magnética, y con signo negativo si la corriente magnética está adelantada con respecto a la tensión magnética.

La reactancia magnética ^{[ 7 ]}^{[ 6 ]}^{[ 8 ]} es el componente de la impedancia magnética compleja del circuito de corriente alterna , que produce el desfase entre una corriente magnética y una tensión magnética en el circuito. Se mide en unidades de ohmios inversos ( Ω ⁻¹ ) y se denota por ⁠ $x$ ⁠ (o ⁠ $X$ ⁠ ). Puede ser inductivo ( ⁠ $x_{\mathrm {L} }=\omega L_{\mathrm {M} }$ ⁠ ) o capacitivo ( ⁠ $\textstyle x_{\mathrm {C} }={\frac {1}{\omega C_{\mathrm {M} }}}$ ) , donde $\omega$ es la frecuencia angular de una corriente magnética, $L_{\mathrm {M} }$ es la inductancia magnética de un circuito, y $C_{\mathrm {M} }$ es la capacitancia magnética de un circuito. La reactancia magnética de un circuito no desarrollado con la inductancia y la capacitancia conectadas en serie es igual a : $\textstyle x=x_{\mathrm {L} }-x_{\mathrm {C} }=\omega L_{\mathrm {M} }-{\frac {1}{\omega C_{\mathrm {M} }}}$ ⁠ . Si ⁠ $x_{\mathrm {L} }=x_{\mathrm {C} }$ ⁠ , entonces la reactancia neta es cero ( ⁠ $x=0$ ) y se produce resonancia en el circuito. En el caso general $\textstyle x={\sqrt {z^{2}-r^{2}}}$ ⁠ . Cuando no hay pérdida de energía ( ⁠ $r=0$ ⁠ ), el sistema es puramente reactivo: ⁠ $x=z$ ⁠ . El ángulo de desfase en un circuito magnético ⁠ $\textstyle \phi =\arctan {\frac {x}{r}}$ En un plano complejo , la reactancia magnética aparece como el lado del triángulo de resistencia para un circuito de corriente alterna.

Limitaciones de la analogía

Las limitaciones de esta analogía entre circuitos magnéticos y circuitos eléctricos incluyen las siguientes:

En los circuitos eléctricos típicos, la corriente se limita al circuito, con muy poca fuga. En los circuitos magnéticos típicos, el campo magnético no se limita completamente al circuito, ya que la permeabilidad magnética también existe fuera de los materiales (véase permeabilidad del vacío ). Por lo tanto, puede haber un flujo de fuga significativo en el espacio fuera de los núcleos magnéticos. Si el flujo de fuga es pequeño en comparación con el circuito principal, a menudo se puede representar como elementos adicionales. En casos extremos, un modelo de elementos concentrados puede no ser apropiado, y en su lugar se utiliza la teoría de campos .
Los circuitos magnéticos son no lineales ; la permeancia en un circuito magnético no es constante, a diferencia de la capacitancia en un circuito eléctrico, sino que varía según el campo magnético. A altos flujos magnéticos, los materiales ferromagnéticos utilizados para los núcleos de los circuitos magnéticos se saturan , lo que limita un mayor aumento del flujo magnético; por lo tanto, por encima de este nivel, la permeancia disminuye rápidamente. Además, el flujo en los materiales ferromagnéticos está sujeto a histéresis ; depende no solo de la fuerza magnetomotriz (FMM) instantánea, sino también de su historial. Después de que se apaga la fuente del flujo magnético, queda magnetismo remanente en los materiales ferromagnéticos, lo que crea un flujo sin FMM.

Referencias

↑ A menudo precedido por el término "magnético"
↑ Hamill incluye entre paréntesis "(por turno)" en la página 97.^{[ 1 ]}

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^ Pohl , RW (1960). Elektrizitätslehre (en alemán). Berlín-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag.
^ Küpfmüller K. Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.

[5] A menudo precedido por el término "magnético"

[6] Hamill incluye entre paréntesis "(por turno)" en la página 97.^{[ 1 ]}

[Hamill-1] 1 2 3 Hamill, DC (1993). "Circuitos equivalentes concentrados de componentes magnéticos: el enfoque del girador-capacitor". IEEE Transactions on Power Electronics . 8 (2): 97– 103. Bibcode : 1993ITPE....8...97H . doi : 10.1109/63.223957 .

[Lambert-2] 1 2 Lambert, M.; Mahseredjian, J.; Martínez-Duró, M.; Sirois, F. (2015). "Circuitos magnéticos dentro de circuitos eléctricos: revisión crítica de los métodos existentes y nuevas implementaciones de mutadores". IEEE Transactions on Power Delivery . 30 (6): 2427– 2434. doi : 10.1109/TPWRD.2015.2391231 . S2CID 38890643 .

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