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Transformada discreta del coseno modificada

La transformada discreta del coseno modificada ( MDCT ) es una transformada basada en la transformada discreta del coseno de tipo IV (DCT-IV), con la propiedad adicional de supe...

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La transformada discreta del coseno modificada ( MDCT ) es una transformada basada en la transformada discreta del coseno de tipo IV (DCT-IV), con la propiedad adicional de superposición : está diseñada para aplicarse a bloques consecutivos de un conjunto de datos mayor , donde los bloques subsiguientes se superponen de manera que la última mitad de un bloque coincide con la primera mitad del siguiente. Esta superposición, sumada a las cualidades de compactación de energía de la DCT, hace que la MDCT sea especialmente atractiva para aplicaciones de compresión de señales, ya que ayuda a evitar artefactos derivados de los límites de los bloques. Como resultado de estas ventajas, la MDCT es la técnica de compresión con pérdida más utilizada en la compresión de datos de audio . Se emplea en la mayoría de los estándares de codificación de audio modernos , incluidos MP3 , Dolby Digital (AC-3), Vorbis (Ogg), Windows Media Audio (WMA), ATRAC , Cook , Advanced Audio Coding (AAC), [ 1 ] High-Definition Coding (HDC), [ 2 ] LDAC , Dolby AC-4 , [ 3 ] y MPEG-H 3D Audio , [ 4 ] así como estándares de codificación de voz como AAC-LD (LD-MDCT), [ 5 ] G.722.1 , [ 6 ] G.729.1 , [ 7 ] CELT , [ 8 ] y Opus . [ 9 ] [ 10 ]

La transformada discreta del coseno (DCT) fue propuesta por primera vez por Nasir Ahmed en 1972, [ 11 ] y demostrada por Ahmed junto con T. Natarajan y KR Rao en 1974. [ 12 ] La MDCT fue propuesta posteriormente por John P. Princen, AW Johnson y Alan B. Bradley en la Universidad de Surrey en 1987, [ 13 ] siguiendo el trabajo previo de Princen y Bradley (1986) [ 14 ] para desarrollar el principio subyacente de cancelación de aliasing en el dominio del tiempo (TDAC) de la MDCT , que se describe a continuación. (También existe una transformada análoga, la MDST, basada en la transformada discreta del seno , así como otras formas de la MDCT, poco utilizadas, basadas en diferentes tipos de DCT o combinaciones de DCT/DST).

En MP3, la MDCT no se aplica directamente a la señal de audio, sino a la salida de un banco de filtros de cuadratura polifásica (PQF) de 32 bandas. La salida de esta MDCT se procesa posteriormente mediante una fórmula de reducción de aliasing para minimizar el aliasing típico del banco de filtros PQF. Esta combinación de un banco de filtros con una MDCT se denomina banco de filtros híbrido o MDCT de subbanda . Por otro lado, AAC normalmente utiliza una MDCT pura; solo la variante MPEG-4 AAC-SSR (de Sony ), poco utilizada, emplea un banco PQF de cuatro bandas seguido de una MDCT. De forma similar a MP3, ATRAC utiliza filtros de espejo de cuadratura apilados (QMF) seguidos de una MDCT.

Definición

Como transformada solapada, la MDCT es algo inusual en comparación con otras transformadas relacionadas con Fourier, ya que tiene la mitad de salidas que de entradas (en lugar del mismo número). En particular, es una función lineal.F:R2norte→Rnorte{\displaystyle F\colon \mathbf {R} ^{2N}\to \mathbf {R} ^{N}}(donde R denota el conjunto de los números reales ). Los 2N números reales x₀ , ..., x₂N − 1 se transforman en los N números reales X₀ , ..., XₙN − 1 según la fórmula

incógnitak=∑norte=02norte−1incógnitanorteporque⁡[πnorte(norte+12+norte2)(k+12)].{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{2N-1}x_{n}\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}+{\frac {N}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right].}

El coeficiente de normalización que precede a esta transformación, en este caso la unidad, es una convención arbitraria y varía según el tratamiento. Solo el producto de las normalizaciones de la MDCT y la IMDCT, que se muestra a continuación, está sujeto a restricciones.

Transformación inversa

La MDCT inversa se conoce como IMDCT . Debido a que hay diferente número de entradas y salidas, a primera vista podría parecer que la MDCT no debería ser invertible. Sin embargo, la invertibilidad perfecta se logra sumando las IMDCT superpuestas de bloques superpuestos subsiguientes, lo que provoca que los errores se cancelen y se recuperen los datos originales; esta técnica se conoce como cancelación de aliasing en el dominio del tiempo ( TDAC ).

La IMDCT transforma N números reales X 0 , ..., X N −1 en 2 N números reales y 0 , ..., y 2 N −1 según la fórmula

ynorte=1norte∑k=0norte−1incógnitakporque⁡[πnorte(norte+12+norte2)(k+12)].{\displaystyle y_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}+{\frac {N}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right].}

Al igual que en el caso de la DCT-IV , una transformada ortogonal, la inversa tiene la misma forma que la transformada directa.

En el caso de una MDCT con ventana y la normalización de ventana habitual (ver más abajo), el coeficiente de normalización delante de la IMDCT debe multiplicarse por 2 (es decir, convertirse en 2/ N ).

Cálculo

Aunque la aplicación directa de la fórmula MDCT requeriría O( N² ) operaciones, es posible calcular lo mismo con una complejidad de solo O( N log N ) factorizando recursivamente el cálculo, como en la transformada rápida de Fourier (FFT). También se pueden calcular MDCT mediante otras transformadas, típicamente una DFT (FFT) o una DCT, combinadas con pasos de preprocesamiento y postprocesamiento de O( N ). Además, como se describe a continuación, cualquier algoritmo para la DCT-IV proporciona inmediatamente un método para calcular la MDCT y la IMDCT de tamaño par.

Funciones de ventana

Funciones de ventana MDCT: azul – coseno, rojo – seno-coseno, verde – Kaiser-Bessel modificado   

En las aplicaciones típicas de compresión de señales, las propiedades de la transformación se mejoran aún más mediante el uso de una función de ventana w n ( n = 0, ..., 2 N  −  1) que se multiplica por x n en la MDCT y por y n en las fórmulas IMDCT anteriores, para evitar discontinuidades en los límites n = 0 y 2 N haciendo que la función tienda suavemente a cero en esos puntos. (Es decir, la función de ventana se aplica a los datos antes de la MDCT o después de la IMDCT). En principio, x e y podrían tener funciones de ventana diferentes, y la función de ventana también podría cambiar de un bloque a otro (especialmente en el caso de que se combinen bloques de datos de diferentes tamaños), pero para simplificar, consideramos el caso común de funciones de ventana idénticas para bloques de igual tamaño.

La transformada sigue siendo invertible (es decir, TDAC funciona), para una ventana simétrica w n = w 2 N −1− n , siempre que w satisfaga la condición de Princen–Bradley:

wnorte2+wnorte+norte2=1.{\displaystyle w_{n}^{2}+w_{n+N}^{2}=1.}

Se utilizan diversas funciones de ventana. Una ventana que produce una forma conocida como transformada superpuesta modulada (MLT) [ 15 ] [ 16 ] viene dada por

wnorte=pecado⁡[π2norte(norte+12)]{\displaystyle w_{n}=\sin \left[{\frac {\pi }{2N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right]}

y se utiliza para MP3 y MPEG-2 AAC, y

wnorte=pecado⁡(π2pecado2⁡[π2norte(norte+12)]){\displaystyle w_{n}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}\left[{\frac {\pi }{2N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right]\right)}

para Vorbis. AC-3 utiliza una ventana derivada de Kaiser-Bessel (KBD) , y MPEG-4 AAC también puede utilizar una ventana KBD.

Cabe destacar que las ventanas aplicadas a la MDCT son diferentes de las utilizadas para otros tipos de análisis de señales, ya que deben cumplir la condición de Princen-Bradley. Una de las razones de esta diferencia es que las ventanas de la MDCT se aplican dos veces: tanto para el análisis (MDCT) como para la síntesis (IMDCT).

Relación con DCT-IV y origen de TDAC

Como se puede apreciar al examinar las definiciones, para N par , la MDCT es esencialmente equivalente a una DCT-IV, donde la entrada se desplaza N /2 y se transforman dos bloques de datos de N elementos a la vez. Al analizar esta equivalencia con mayor detenimiento, se pueden derivar fácilmente propiedades importantes como la TDAC.

Para definir la relación precisa con la DCT-IV, hay que tener en cuenta que la DCT-IV corresponde a condiciones de contorno pares/impares alternas: pares en su límite izquierdo (alrededor de n  = − 1/2), impares en su límite derecho (alrededor de n = N − 1/2), y así sucesivamente (en lugar de límites periódicos como en una DFT ). Esto se deduce de las identidades     

porque⁡[πnorte(−norte−1+12)(k+12)]=porque⁡[πnorte(norte+12)(k+12)]{\displaystyle \cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(-n-1+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]=\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]}

y

porque⁡[πnorte(2norte−norte−1+12)(k+12)]=−porque⁡[πnorte(norte+12)(k+12)].{\displaystyle \cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(2N-n-1+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]=-\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right].}

Así, si sus entradas son una matriz x de longitud N , podemos imaginar extender esta matriz a ( x , − x R , − x , x R , ...) y así sucesivamente, donde x R denota x en orden inverso.

Consideremos una MDCT con 2N entradas y N salidas, donde dividimos las entradas en cuatro bloques ( a , b , c , d ), cada uno de tamaño N /2. Si los desplazamos a la derecha en N /2 (desde el término + N /2 en la definición de MDCT), entonces ( b , c , d ) se extienden más allá del final de las N entradas DCT-IV, por lo que debemos "plegarlos" de vuelta según las condiciones de contorno descritas anteriormente.

Por lo tanto, la MDCT de 2 N entradas ( a , b , c , d ) es exactamente equivalente a una DCT-IV de las N entradas: ( − c R − d , a − b R ), donde R denota inversión como se indicó anteriormente.    

De esta forma, cualquier algoritmo para calcular el DCT-IV se puede aplicar fácilmente al MDCT.

De manera similar, la fórmula IMDCT anterior es precisamente 1/2 de la DCT-IV (que es su propia inversa), donde la salida se extiende (a través de las condiciones de contorno) a una longitud 2 N y se desplaza hacia la izquierda N /2. La DCT-IV inversa simplemente devolvería las entradas ( − c R − d , a − b R ) de arriba. Cuando esto se extiende a través de las condiciones de contorno y se desplaza, se obtiene    

IMDCT(MDCT( a , b , c , d )) = ( a − b R , b − a R , c + d R , d + c R )/2.

La mitad de las salidas de IMDCT son, por lo tanto, redundantes, ya que b − a R = − ( a − b R ) R , y lo mismo ocurre con los dos últimos términos. Si agrupamos la entrada en bloques más grandes A , B de tamaño N , donde A = ( a , b ) y B = ( c , d ), podemos escribir este resultado de una manera más sencilla:        

IMDCT(MDCT( A , B )) = ( A − A R , B + B R )/2.

Ahora se puede comprender cómo funciona TDAC. Supongamos que se calcula la MDCT del bloque subsiguiente, con un solapamiento del 50%, 2N ( B, C). La IMDCT dará como resultado, de forma análoga a lo anterior: (B − BR , C + CR ) / 2 . Al sumar este resultado al resultado de la IMDCT anterior en la mitad solapada, los términos invertidos se cancelan y se obtiene simplemente B , recuperando así los datos originales.    

Origen de TDAC

El origen del término "cancelación de aliasing en el dominio del tiempo" ahora está claro. El uso de datos de entrada que se extienden más allá de los límites de la DCT-IV lógica hace que los datos se aliasen de la misma manera que las frecuencias más allá de la frecuencia de Nyquist se aliasean a frecuencias más bajas, excepto que este aliasing ocurre en el dominio del tiempo en lugar del dominio de la frecuencia: no podemos distinguir las contribuciones de a y de b R a la MDCT de ( a , b , c , d ), o equivalentemente, al resultado de

IMDCT(MDCT( a , b , c , d ))= ( a − b R , b − a R , c + d R , d + c R )/2.

Las combinaciones c − d R y así sucesivamente tienen precisamente los signos correctos para que las combinaciones se cancelen cuando se suman.

Para valores impares de N (que rara vez se utilizan en la práctica), N /2 no es un número entero, por lo que la MDCT no es simplemente una permutación desplazada de una DCT-IV. En este caso, el desplazamiento adicional de media muestra implica que la MDCT/IMDCT se vuelve equivalente a la DCT-III/II, y el análisis es análogo al anterior.

Suavidad y discontinuidades

Hemos visto anteriormente que la MDCT de 2 N entradas ( a , b , c , d ) es equivalente a una DCT-IV de las N entradas (− c R − d , a − b R ). La DCT-IV está diseñada para el caso en que la función en el límite derecho es impar y, por lo tanto, los valores cerca del límite derecho son cercanos a 0. Si la señal de entrada es suave, este es el caso: los componentes más a la derecha de a y b R son consecutivos en la secuencia de entrada ( a , b , c , d ), y por lo tanto su diferencia es pequeña. Veamos el medio del intervalo: si reescribimos la expresión anterior como (− c R − d , a − b R ) = (− d , a ) − ( b , c ) R , el segundo término, ( b , c ) R , da una transición suave en el medio. Sin embargo, en el primer término, (− d , a ), existe una posible discontinuidad donde el extremo derecho de − d se encuentra con el extremo izquierdo de a . Esta es la razón por la que se utiliza una función de ventana que reduce los componentes cercanos a los límites de la secuencia de entrada ( a , b , c , d ) hacia 0.

TDAC para MDCT con ventana

Anteriormente, se demostró la propiedad TDAC para la MDCT ordinaria, mostrando que la suma de las IMDCT de bloques subsiguientes en su mitad superpuesta recupera los datos originales. La derivación de esta propiedad inversa para la MDCT con ventana es solo un poco más compleja.

Consideremos dos conjuntos consecutivos superpuestos de 2N entradas ( A , B ) y ( B , C ), para bloques A , B , C de tamaño N. Recordemos de arriba que cuando(A,B){\displaystyle (A,B)}y(B,do){\displaystyle (B,C)}son MDCT, IMDCT y sumados en su mitad superpuesta, obtenemos(B+BR)/2+(B−BR)/2=B{\displaystyle (B+B_{R})/2+(B-B_{R})/2=B}, los datos originales.

Ahora suponemos que multiplicamos tanto las entradas MDCT como las salidas IMDCT por una función ventana de longitud 2N . Como se indicó anteriormente, asumimos una función ventana simétrica, que por lo tanto tiene la forma(W,WR){\displaystyle (W,W_{R})}donde W es un vector de longitud N y R denota la inversión como antes. Entonces, la condición de Princen-Bradley se puede escribir comoW2+WR2=(1,1,…){\displaystyle W^{2}+W_{R}^{2}=(1,1,\ldots )}, con los cuadrados y las sumas realizadas elemento por elemento.

Por lo tanto, en lugar de MDCT(A,B){\displaystyle (A,B)}Ahora tenemos MDCT(WA,WRB){\displaystyle (WA,W_{R}B)}(con todas las multiplicaciones realizadas elemento a elemento). Cuando se aplica la transformada inversa de coseno discontinuo (IMDCT) y se vuelve a multiplicar (elemento a elemento) por la función de ventana, la última mitad N se convierte en:

WR⋅(WRB+(WRB)R)=WR⋅(WRB+WBR)=WR2B+WWRBR{\displaystyle W_{R}\cdot (W_{R}B+(W_{R}B)_{R})=W_{R}\cdot (W_{R}B+WB_{R})=W_{R}^{2}B+WW_{R}B_{R}}.

(Tenga en cuenta que ya no tenemos la multiplicación por 1/2, porque la normalización IMDCT difiere por un factor de 2 en el caso con ventana).

De manera similar, la MDCT con ventana y la IMDCT de(B,do){\displaystyle (B,C)}rinde, en su primera mitad N :

W⋅(WB−WRBR)=W2B−WWRBR{\displaystyle W\cdot (WB-W_{R}B_{R})=W^{2}B-WW_{R}B_{R}}.

Cuando sumamos estas dos mitades, obtenemos:

(WR2B+WWRBR)+(W2B−WWRBR)=(WR2+W2)B=B,{\displaystyle (W_{R}^{2}B+WW_{R}B_{R})+(W^{2}B-WW_{R}B_{R})=\left(W_{R}^{2}+W^{2}\right)B=B,}

recuperando los datos originales.

Véase también

Referencias

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