Modelo de parámetros agrupados para el sistema cardiovascular

Ejemplo de modelo cardiovascular de parámetros agrupados. Cada compartimento se encuentra dentro de los recuadros verdes. Los parámetros del modelo están resaltados en negro, mientras que en azul se destacan las presiones y los flujos sanguíneos en todo el sistema cardiovascular.

Un modelo cardiovascular de parámetros agrupados es un modelo matemático de dimensión cero utilizado para describir la hemodinámica del sistema cardiovascular . Dado un conjunto de parámetros que tienen un significado físico (por ejemplo, resistencias al flujo sanguíneo), permite estudiar los cambios en las presiones sanguíneas o las tasas de flujo en todo el sistema cardiovascular. ^[1]^[2] Modificando los parámetros, es posible estudiar los efectos de una enfermedad específica . Por ejemplo, la hipertensión arterial se modela aumentando las resistencias arteriales del modelo. ^[1]

El modelo de parámetros concentrados se utiliza para estudiar la hemodinámica de un espacio tridimensional (el sistema cardiovascular) mediante un espacio de dimensión cero que explota la analogía entre tuberías y circuitos eléctricos. La reducción de tres a cero dimensiones se realiza dividiendo el sistema cardiovascular en diferentes compartimentos.,Cada uno de ellos representa un componente específico del sistema, por ejemplo, la aurícula derecha o las arterias sistémicas. Cada compartimento está formado por componentes circuitales simples, como resistencias o condensadores , mientras que el flujo sanguíneo se comporta como la corriente que fluye a través del circuito según las leyes de Kirchoff , bajo la acción de la presión sanguínea (caída de tensión). ^[2]

El modelo de parámetros concentrados consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que describe la evolución en el tiempo de los volúmenes de las cámaras del corazón.,y la presión y el flujo sanguíneo a través de los vasos sanguíneos . ^[3]

Descripción del modelo

El modelo de parámetros concentrados consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que se adhieren a los principios de conservación de la masa y equilibrio del momento . El modelo se obtiene explotando la analogía eléctrica donde la corriente representa el flujo sanguíneo, el voltaje representa la diferencia de presión, la resistencia eléctrica juega el papel de la resistencia vascular (determinada por la sección y la longitud del vaso sanguíneo), la capacitancia juega el papel de la compliancia vascular (la capacidad del vaso para distenderse y aumentar el volumen con el aumento de la presión transmural , que es la diferencia de presión entre dos lados de la pared de un vaso) y la inductancia representa la inercia de la sangre . Cada cámara del corazón se modela por medio de las elastancias que describen la contractilidad del músculo cardíaco y el volumen descargado, que es el volumen de sangre contenido en la cámara a presión cero. Las válvulas se modelan como diodos . Los parámetros del modelo son las resistencias, las capacitancias, las inductancias y las elastancias. Las incógnitas del sistema son los volúmenes sanguíneos dentro de cada cámara cardíaca, las presiones y flujos sanguíneos dentro de cada compartimento de la circulación. El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se resuelve mediante un método numérico de discretización temporal , por ejemplo, un método de Runge-Kutta . ^[3]

El sistema cardiovascular se divide en diferentes compartimentos:

las cuatro cámaras del corazón: aurícula izquierda y derecha y ventrículos izquierdo y derecho;
la circulación sistémica que puede dividirse en arterias, venas y, si es necesario, en otros compartimentos dando lugar a diferentes vasos sanguíneos;
la circulación pulmonar que puede dividirse en arterias, venas y, si es necesario, en otros compartimentos dando lugar a diferentes vasos sanguíneos.

Aguas abajo de la aurícula y el ventrículo izquierdos y de la aurícula y el ventrículo derechos se encuentran las cuatro válvulas cardíacas: mitral , aórtica , tricúspide y pulmonar , respectivamente. ^[3]

La división de la circulación pulmonar y sistémica no es fija; por ejemplo, si el interés del estudio se centra en los capilares sistémicos, se puede añadir al modelo de parámetros agrupados el compartimento que representa los capilares sistémicos. Cada compartimento se describe mediante un circuito de Windkessel con un número de elementos que depende del compartimento específico. Las ecuaciones diferenciales ordinarias del modelo se derivan de los circuitos de Windkessel y de las leyes de Kirchoff. ^[4]

A continuación, nos centraremos en un modelo de parámetros agrupados específico. Los compartimentos considerados son las cuatro cámaras cardíacas y las arterias y venas sistémicas y pulmonares. ^[5]

Ecuaciones de las cámaras del corazón

Los parámetros relacionados con las cuatro cámaras del corazón son las elastancias pasiva y activa y (donde el subíndice varía entre y si las elastancias se refieren a la aurícula o ventrículo derecho o a la aurícula o ventrículo izquierdo, respectivamente) y los volúmenes descargados . La dinámica de las cámaras del corazón se describe mediante la elastancia dependiente del tiempo: ^[5] $Estilo de visualización {EA}_{XX}$ $EB_{\mathrm {XX}}$ $\mathrm {XX}$ $\mathrm {RA},\mathrm {RV},\mathrm {LA}$ $\mathrm {LV}$ $V0_{\mathrm {XX}}$

E_{XX}(t)=EB_{XX}+EA_{XX}f_{XX}(t)

donde es una función periódica (con período de un latido) dependiente del tiempo que va desde hasta que representa las fases de activación del corazón durante un latido. De la ecuación anterior, la elastancia pasiva representa la elastancia mínima de la cámara cardíaca, mientras que la suma de y la elastancia máxima de la misma. La elastancia dependiente del tiempo permite el cálculo de la presión dentro de una cámara cardíaca específica de la siguiente manera: ^[5] $f_{\mathrm {XX}}(t)$ ${\estilo de visualización 0}$ ${\estilo de visualización 1}$ $EA_{\mathrm {XX}}$ $EB_{\mathrm {XX}}$

p_{XX}(t)=E_{XX}(t)(V_{XX}(t)-V0_{XX})

donde es el volumen de sangre contenido en la cámara del corazón y los volúmenes de cada cámara son las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias que dan cuenta de los flujos de sangre entrantes y salientes asociados con la cámara del corazón: ^[5] $Estilo de visualización V_ {XX}(t)}$

{\frac {dV_{\mathrm {LA}}(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {VEN}}^{\mathrm {PUL}(t)-Q_{\mathrm {MV}}(t)

{\frac {dV_{\mathrm {LV}}(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {MV}}(t)-Q_{\mathrm {AV}}(t)

{\frac {dV_{\mathrm {RA}}(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {VEN}}^{\mathrm {SYS}(t)-Q_{\mathrm {TV}}(t)

{\frac {dV_{\mathrm {RV}}(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {TV}}(t)-Q_{\mathrm {PV}}(t)

donde y son los flujos a través de las válvulas mitral, aórtica, tricúspide y pulmonar respectivamente y y son los flujos a través de las venas pulmonares y sistémicas, respectivamente. ^[5] $Q_{\mathrm {MV}}(t),Q_{\mathrm {AV}}(t),Q_{\mathrm {TV}}(t)$ $Q_{\mathrm {PV}}(t)$ $Q_{\mathrm {VEN}}^{\mathrm {PUL}}(t)$ $Q_{\mathrm {VEN}}^{\mathrm {SYS}}(t)$

Ecuaciones de válvulas

Las válvulas se modelan como diodos y los flujos de sangre a través de las válvulas dependen de los saltos de presión entre el compartimento ascendente y descendente: ^[5]

Q_{\mathrm {MV} }(t)=Q_{\mathrm {válvula} }(p_{\mathrm {LA} }(t)-p_{\mathrm {LV} }(t))\qquad Q_{\mathrm {AV} }(t)=Q_{\mathrm {válvula} }(p_{\mathrm {LV} }(t)-p_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }(t))

Q_{\mathrm {TV} }(t)=Q_{\mathrm {válvula} }(p_{\mathrm {RA} }(t)-p_{\mathrm {RV} }(t))\qquad Q_{\mathrm {TV} }(t)=Q_{\mathrm {válvula} }(p_{\mathrm {RV} }(t)-p_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {PUL} }(t))

donde la presión dentro de cada cámara del corazón se define en la sección anterior, y son las presiones dependientes del tiempo dentro del compartimento de la arteria sistémica y pulmonar y es el flujo a través de la válvula en función del salto de presión: ^[5] $p_{\mathrm {AR}}^{\mathrm {SYS}}(t)$ $p_{\mathrm {AR}}^{\mathrm {PUL}}(t)$ $Q_{\mathrm {válvula} }(\Delta p)$

Q_{\mathrm {válvula} }(\Delta p)={\begin{cases}{\frac {\Delta p}{R_{\mathrm {mín} }}}\qquad &{\text{si }}\Delta p<0\\{\frac {\Delta p}{R_{\mathrm {máx} }}}\qquad &{\text{si }}\Delta p\geq 0\end{cases}}

donde y son las resistencias de las válvulas cuando están abiertas y cerradas respectivamente. ^[5] $R_{\mathrm {min} }$ $R_{\mathrm {max} }$

Ecuaciones de los compartimentos de circulación

Cada compartimento de los vasos sanguíneos se caracteriza por una combinación de resistencias, capacitancias e inductancias. Por ejemplo, la circulación arterial sistémica se puede describir mediante tres parámetros que representan la resistencia, la capacitancia y la inductancia arteriales sistémicas. Las ecuaciones diferenciales ordinarias que describen la circulación arterial sistémica son: ^[5] $R_{AR}^{SYS},C_{AR}^{SYS}$ $L_{AR}^{SYS}$

C_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }{\frac {dp_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }}{dt}}=Q_{\mathrm {AV} }(t)-Q_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }(t)

L_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }{\frac {dQ_{\mathrm {AR} }^{SYS}(t)}{dt}}=-R_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }Q_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }(t)+p_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }(t)-p_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }(t)

¿Dónde está el flujo sanguíneo a través del compartimento arterial sistémico y es la presión dentro del compartimento venoso? ^[5] $Q_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }(t)$ $p_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }(t)$

Ecuaciones análogas con notación similar se aplican a los demás compartimentos que describen la circulación sanguínea. ^[5]

Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

Reuniendo las ecuaciones descritas anteriormente se obtiene el siguiente sistema: se cumple ^[5] $\forall \,t\in [0,T]$

{\begin{cases}{\frac {dV_{\mathrm {LA} }(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {PUL} }(t)-Q_{\mathrm {MV} }(t)\\{\frac {dV_{\mathrm {LV} }(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {MV} }(t)-Q_{\mathrm {AV} }(t)\\C_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }{\frac {dp_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {AV} }(t)-Q_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }(t)\\L_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }{\frac {dQ_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }(t)}{dt}}=-R_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }Q_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }(t)+p_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }(t)-p_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }(t)\\C_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }{\frac {dp_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {SYS} }(t)-Q_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }(t)\\L_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }{\frac {dQ_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }(t)}{dt}}=-R_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }Q_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }(t)+p_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }(t)-p_{\mathrm {RA} }(t)\\{\frac {dV_{\mathrm {RA} }(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {SYS} }(t)-Q_{\mathrm {TV} }(t)\\{\frac {dV_{\mathrm {RV} }(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {TV} }(t)-Q_{\mathrm {PV} }(t)\\C_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {PUL} }{\frac {dp_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {PUL} }(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {PV} }(t)-Q_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {PUL} }(t)\\L_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {PUL} }{\frac {dQ_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {PUL} }(t)}{dt}}=-R_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {PUL} }Q_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {PUL} }(t)+p_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {PUL} }(t)-p_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {PUL} }(t)\\C_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {PUL} }{\frac {dp_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {PUL} }(t)}{dt}}=Q_{\mathrm {AR} }^{\mathrm {PUL} }(t)-Q_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {PUL} }(t)\\L_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {PUL} }{\frac {dQ_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {PUL} }(t)}{dt}}=-R_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {PUL} }Q_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {PUL} }(t)+p_{\mathrm {VEN} }^{\mathrm {PUL} }(t)-p_{\mathrm {LA} }(t)\end{cases}}

Resultados del modelo cardiovascular de parámetros concentrados: presiones, volúmenes de sangre dentro de las cámaras del corazón y flujos de sangre.

con el tiempo final. Las dos primeras ecuaciones están relacionadas con los volúmenes en la aurícula izquierda y los ventrículos respectivamente. Las ecuaciones de la tercera a la sexta están relacionadas con las presiones y flujos de los sistemas arterial y venoso sistémico. Las últimas ecuaciones están relacionadas con el corazón derecho y la circulación pulmonar de manera análoga. El sistema se completa con condiciones iniciales para cada una de las incógnitas. ^[5] $T$

Desde un punto de vista matemático, el buen planteamiento del problema es consecuencia del teorema de Cauchy-Lipschitz , por lo que su solución existe y es única. La solución del sistema se aproxima mediante un método numérico . La simulación numérica debe calcularse para más de latidos cardíacos (el tiempo final depende del número de latidos y de la frecuencia cardíaca ) para aproximarse al ciclo límite del sistema dinámico , de modo que la solución se comporte de manera similar a una función periódica que emule la periodicidad del ciclo cardíaco . ^[5] $10$ $T$

Desarrollos futuros

El modelo descrito anteriormente es un modelo de parámetros concentrados específicos. Puede modificarse fácilmente añadiendo o quitando compartimentos o componentes de circuito dentro de cualquier compartimento según sea necesario. Las ecuaciones que rigen los compartimentos nuevos o modificados son las leyes de Kirchoff, como antes. ^[4]

Los modelos de parámetros agrupados cardiovasculares se pueden mejorar añadiendo un modelo de parámetros agrupados para el sistema respiratorio. En cuanto al sistema cardiovascular, el sistema respiratorio se divide en diferentes compartimentos modelando, por ejemplo, la laringe , la faringe o la tráquea . ^[6] Además, el modelo cardiopulmonar se puede combinar con un modelo de oxigenación sanguínea para estudiar, por ejemplo, los niveles de saturación sanguínea. ^[7]^[8]

Existen varios modelos de parámetros agrupados y la elección del modelo depende del propósito del trabajo o la investigación. Los modelos complejos pueden describir dinámicas diferentes, pero el aumento de la complejidad implica un mayor costo computacional para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales. ^[9]^[10]^[11]

Algunos de los compartimentos 0-D del modelo de parámetros agrupados podrían sustituirse por componentes -dimensionales ( ) para describir geométricamente un componente específico del sistema cardiovascular (por ejemplo, el compartimento 0-D del ventrículo izquierdo puede sustituirse por una representación 3-D del mismo). Como consecuencia, el sistema de ecuaciones incluirá también ecuaciones diferenciales parciales para describir los componentes dimensionales y su resolución numérica supondrá un mayor coste computacional. ^[12]^[13] $d$ $d=1,2,3$

Véase también

Referencias

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Lectura adicional

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Quarteroni, Alfio ; Dede', Luca; Manzoni, Andrea; Vergara, Christian (2019). Modelado matemático del sistema cardiovascular humano: datos, aproximación numérica, aplicaciones clínicas . Cambridge monographs on applied and computational mathematics. Nueva York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-61609-6.
Hirschvogel, Marc; Bassilious, Marina; Jagschies, Lasse; Wildhirt, Stephen M.; Gee, Michael W. (2017). "Un modelo monolítico 3D-0D acoplado de circuito cerrado del corazón y el sistema vascular: Estimación de parámetros basada en experimentos para la mecánica cardíaca específica del paciente: modelo 3D-0D acoplado de circuito cerrado del corazón". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería biomédica . 33 (8): e2842. doi :10.1002/cnm.2842. PMID 27743468. S2CID 36252500.

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