Suma de lp

En matemáticas, y específicamente en análisis funcional , la suma L ^p de una familia de espacios de Banach es una forma de convertir un subconjunto del conjunto producto de los miembros de la familia en un espacio de Banach por derecho propio. La construcción está motivada por los espacios L ^p clásicos . ^[1]

Sea una familia de espacios de Banach, donde puede tener una cardinalidad arbitrariamente grande. Establezca el espacio vectorial producto. ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle P:=\prod_{i\in I}X_{i},}$$

El conjunto de índices se convierte en un espacio de medida cuando se le dota de su medida de conteo (que denotaremos por ), y cada elemento induce una función ${\displaystyle I}$${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in P}$$${\displaystyle I\to \mathbb {R} ,i\mapsto \|x_{i}\|.}$$

Así, podemos definir una función y luego establecerla junto con la norma $${\displaystyle \Phi :P\to \mathbb {R} \cup \{\infty \},(x_{i})_{i\in I}\mapsto \int _{I}\|x_{i}\|^{p}\,d\mu (i)}$$$${\displaystyle \sideset {}{^{p}}\bigoplus \limits _{i\in I}X_{i}:=\{(x_{i})_{i\in I}\in P\mid \Phi ((x_{i})_{i\in I})<\infty \}}$$$${\displaystyle \|(x_{i})_{i\in I}\|:=\left(\int _{i\in I}\|x_{i}\|^{p}\,d\mu (i)\right)^{1/p}.}$$

El resultado es un espacio de Banach normado , y éste es precisamente la suma L ^p de${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}.}$

• Siempre que un número infinito de contenga un elemento distinto de cero, la topología inducida por la norma anterior está estrictamente entre la topología de producto y la topología de caja.$Estilo de visualización X_{i}}$
• Siempre que un número infinito de contengan un elemento distinto de cero, la suma L ^p no es un producto ni un coproducto .$Estilo de visualización X_{i}}$