Sobre inferior

En matemáticas, la envolvente inferior o mínimo puntual de un conjunto finito de funciones es el mínimo puntual de las funciones, es decir, la función cuyo valor en cada punto es el mínimo de los valores de las funciones del conjunto dado. El concepto de envolvente inferior también puede extenderse a funciones parciales tomando el mínimo solo entre las funciones que tienen valores en el punto. La envolvente superior o máximo puntual se define simétricamente. Para un conjunto infinito de funciones, las mismas nociones pueden definirse utilizando el ínfimo en lugar del mínimo y el supremo en lugar del máximo. ^{[ 1 ]}

Para funciones continuas de una clase dada, la envolvente inferior o superior es una función definida a trozos cuyos trozos pertenecen a la misma clase. Para funciones de una sola variable real cuyos gráficos tienen un número limitado de puntos de intersección, la complejidad de la envolvente inferior o superior puede limitarse mediante secuencias de Davenport-Schinzel , y estas envolventes pueden calcularse eficientemente mediante un algoritmo de divide y vencerás que calcula y luego fusiona las envolventes de subconjuntos de las funciones. ^{[ 2 ]}

Para funciones convexas o cuasiconvexas , la envolvente superior también es convexa o cuasiconvexa. La envolvente inferior no lo es, pero puede reemplazarse por la envolvente inferior convexa para obtener una operación análoga a la envolvente inferior que mantiene la convexidad. Las envolventes superior e inferior de las funciones de Lipschitz conservan la propiedad de ser Lipschitz. Sin embargo, las operaciones de envolvente inferior y superior no necesariamente conservan la propiedad de ser una función continua . ^{[ 3 ]}