grupo de trenzas en bucle

El grupo de trenzas de bucle es una estructura de grupo matemática que se utiliza en algunos modelos de física teórica para modelar el intercambio de partículas con topologías en forma de bucle dentro de tres dimensiones de espacio y tiempo.

Las operaciones básicas que generan un grupo de trenzas de bucles para n bucles son el intercambio de dos bucles adyacentes y el paso de un bucle adyacente a través de otro. La topología obliga a estos generadores a satisfacer ciertas relaciones que determinan el grupo.

Para ser precisos, el grupo de trenzas de bucles sobre n bucles se define como el grupo de movimiento de n círculos disjuntos incrustados en una "caja" tridimensional compacta difeomorfa al disco tridimensional. Un movimiento es un bucle en el espacio de configuración, que consiste en todas las formas posibles de incrustar n círculos en el disco tridimensional. Esto se convierte en un grupo de la misma manera que se pueden formar grupos de bucles en cualquier espacio; primero, definimos clases de equivalencia de bucles haciendo que los caminos g y h sean equivalentes si y solo si están relacionados por una homotopía (suave), y luego definimos una operación de grupo sobre las clases de equivalencia mediante la concatenación de caminos. En su tesis doctoral de 1962 , David M. Dahm demostró que existe un homomorfismo inyectivo de este grupo al grupo de automorfismos del grupo libre sobre n generadores, por lo que es natural identificar el grupo con este subgrupo del grupo de automorfismos. ^{[ 1 ]} También se puede demostrar que el grupo de trenzas de bucle es isomorfo al grupo de trenzas soldadas, como se hace por ejemplo en un artículo de John C. Baez , Derek Wise y Alissa Crans , que también ofrece algunas presentaciones del grupo de trenzas de bucle utilizando el trabajo de Xiao-Song Lin. ^{[ 2 ]}

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