medida logarítmicamente cóncava

En matemáticas , una medida de Borel μ en el espacio euclidiano n - dimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$se denomina logarítmicamente cóncavo (o log-cóncavo para abreviar) si, para cualesquiera subconjuntos compactos A y B de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y 0 < λ < 1, uno tiene    

${\displaystyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda },}$

donde λ A + (1 − λ ) B denota la suma de Minkowski de λ A y (1 − λ ) B . ^{[ 1 ]}          

La desigualdad de Brunn-Minkowski afirma que la medida de Lebesgue es logarítmicamente cóncava. La restricción de la medida de Lebesgue a cualquier conjunto convexo también es logarítmicamente cóncava.

Según un teorema de Borell, ^{[ 2 ]} una medida de probabilidad en R^d es log-cóncava si y solo si tiene una densidad con respecto a la medida de Lebesgue en algún hiperplano afín, y esta densidad es una función logarítmicamente cóncava . Por lo tanto, cualquier medida gaussiana es log-cóncava.

La desigualdad de Prékopa-Leindler muestra que una convolución de medidas logarítmicamente cóncavas es logarítmicamente cóncava.

• Medida convexa , una generalización de este concepto.
• función cóncava logarítmica