decremento logarítmico

decremento logarítmico , ${\displaystyle \delta }$, se utiliza para encontrar el coeficiente de amortiguación de un sistema subamortiguado en el dominio del tiempo .

El método de decremento logarítmico se vuelve cada vez menos preciso a medida que el coeficiente de amortiguación aumenta más allá de aproximadamente 0,5; no se aplica en absoluto para un coeficiente de amortiguación mayor que 1,0 porque el sistema está sobreamortiguado .

El decremento logarítmico se define como el logaritmo natural de la razón de las amplitudes de dos picos sucesivos cualesquiera:

${\displaystyle \delta ={\frac {1}{n}}\ln {\frac {x(t)}{x(t+nT)}}}$

donde x ( t ) es el sobreimpulso (amplitud - valor final) en el tiempo t y x ( t + nT ) es el sobreimpulso del pico a n períodos de distancia, donde n es cualquier número entero de picos positivos sucesivos.

El coeficiente de amortiguación se obtiene a partir del decremento logarítmico mediante:

${\displaystyle \zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {4\pi ^{2}+\delta ^{2}}}}}$

De este modo, el decremento logarítmico también permite evaluar el factor Q del sistema:

${\displaystyle Q={\frac {1}{2\zeta }}}$

${\displaystyle Q={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+\left({\frac {n2\pi }{\ln {\frac {x(t)}{x(t+nT)}}}}\right)^{2}}}}$

El coeficiente de amortiguación se puede utilizar entonces para hallar la frecuencia natural ω _n de vibración del sistema a partir de la frecuencia natural amortiguada ω _d :

${\displaystyle \omega _{d}={\frac {2\pi }{T}}}$

${\displaystyle \omega _{n}={\frac {\omega _{d}}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$

donde T , el período de la forma de onda, es el tiempo entre dos picos de amplitud sucesivos del sistema subamortiguado.

El coeficiente de amortiguación se puede calcular para cualquier par de picos adyacentes. Este método se utiliza cuando n = 1 y se deriva del método general descrito anteriormente:

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {2\pi }{\ln \left({\frac {x_{0}}{x_{1}}}\right)}}\right)^{2}}}}}$

donde x ₀ y x ₁ son las amplitudes de dos picos sucesivos cualesquiera.

Para el sistema donde${\displaystyle \zeta \ll 1}$(no demasiado cerca del régimen críticamente amortiguado, donde${\displaystyle \zeta \approx 1}$).

${\displaystyle \zeta \approx {\frac {\ln \left({\frac {x_{0}}{x_{1}}}\right)}{2\pi }}}$

El método del sobreimpulso fraccional puede ser útil para coeficientes de amortiguación entre aproximadamente 0,5 y 0,8. El sobreimpulso fraccional OS es:

${\displaystyle \mathrm {OS} ={\frac {x_{p}-x_{f}}{x_{f}}}}$

donde x _p es la amplitud del primer pico de la respuesta escalón y x _f es la amplitud de estabilización. Entonces, la relación de amortiguamiento es

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {\pi }{\ln(\mathrm {OS} )}}\right)^{2}}}}}$

• Factor de amortiguación

• Inman, Daniel J. (2008). Vibración en ingeniería . Upper Saddle, NJ: Pearson Education, Inc. pp. 43–48 . ISBN  978-0-13-228173-7.