Teorema de localización

En matemáticas , particularmente en cálculo integral , el teorema de localización permite, bajo ciertas condiciones, inferir la nulidad de una función conociendo únicamente su continuidad y el valor de su integral.

Sea F ( x ) una función de valores reales definida en un intervalo abierto Ω de la recta real que sea continua en Ω. Sea D un subintervalo arbitrario contenido en Ω. El teorema establece la siguiente implicación: $${\displaystyle \int _{D}F(x)\,\mathrm {d} x=0~\forall D\subset \Omega ~\Rightarrow ~F(x)=0~\forall x\in \Omega }$$

Una demostración sencilla es la siguiente: si existiera un punto x ₀ dentro de Ω para el cual F ( x ₀ ) ≠ 0 , entonces la continuidad de F requeriría la existencia de un entorno de x ₀ en el cual el valor de F fuera distinto de cero, y en particular del mismo signo que en x ₀ . Dado que dicho entorno N , que puede tomarse arbitrariamente pequeño, debe tener un ancho distinto de cero en la recta real, la integral de F sobre N se evaluaría a un valor distinto de cero. Sin embargo, dado que x ₀ es parte del conjunto abierto Ω, todos los entornos de x ₀ menores que la distancia de x ₀ a la frontera de Ω están incluidos en él, por lo que la integral de F sobre ellos debe evaluarse a cero. Habiendo llegado a la contradicción de que ∫ _N F ( x ) dx debe ser a la vez cero y distinto de cero, la hipótesis inicial debe ser errónea, y por lo tanto no hay ningún x ₀ en Ω para el cual F ( x ₀ ) ≠ 0 .

El teorema se generaliza fácilmente a funciones multivariables , reemplazando los intervalos con el concepto más general de conjuntos abiertos conexos , es decir, dominios , y la función original con alguna F ( x )  : R ⁿ → R , con las restricciones de continuidad y nulidad de su integral sobre cualquier subdominio D ⊂ Ω . La demostración es completamente análoga al caso de una sola variable y concluye con la imposibilidad de encontrar un punto x ₀ ∈ Ω tal que F ( x ₀ ) ≠ 0 .

Un ejemplo del uso de este teorema en física es la ley de conservación de la masa para fluidos, que establece que la masa de cualquier volumen de fluido no debe cambiar: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V_{f}}\rho ({\vec {x}},t)\,\mathrm {d} \Omega =0}$$

Aplicando el teorema de transporte de Reynolds , se puede cambiar la referencia a un volumen de control arbitrario (no fluido) V _c . Suponiendo además que la función de densidad es continua (es decir, que nuestro fluido es monofásico y termodinámicamente metaestable) y que V _c no se mueve con respecto al sistema de referencia elegido, la ecuación se convierte en: $${\displaystyle \int _{V_{c}}\left[{{\partial \rho } \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\vec {v}})\right]\,\mathrm {d} \Omega =0}$$

Como la ecuación se cumple para cualquier volumen de control de este tipo, se aplica el teorema de localización, lo que da como resultado la ecuación diferencial parcial común para la conservación de la masa en fluidos monofásicos: $${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho {\vec {v}})=0}$$