Rigidez local

Dejar${\displaystyle \Gamma }$ser un grupo generado por un número finito de elementos${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$y${\displaystyle G}$un grupo de mentiras. Luego el mapa${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma,G)\to G^{n}}$definido por${\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n}))}$es inyectivo y esto le confiere${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma,G)}$con una topología inducida por la de${\displaystyle G^{n}}$. Si${\displaystyle \Gamma }$es un subgrupo de${\displaystyle G}$luego una deformación de${\displaystyle \Gamma }$es cualquier elemento en${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma,G)}$Dos representaciones${\displaystyle \phi ,\psi }$Se dice que están conjugados si existe un${\displaystyle g\in G}$de tal manera que${\displaystyle \phi (\gamma )=g\psi (\gamma )g^{-1}}$a pesar de${\displaystyle \gamma \en \Gamma }$. Véase también variedad de caracteres .

La afirmación más sencilla es cuando${\displaystyle \Gamma }$es una red en un grupo de Lie simple${\displaystyle G}$y este último no es localmente isomorfo a${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {R} )}$o${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {C} )}$y${\displaystyle \Gamma }$(esto significa que su álgebra de Lie no es la de ninguno de estos dos grupos).

Existe un vecindario${\displaystyle U}$en${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma,G)}$de la inclusión${\displaystyle i:\Gamma \subset G}$de tal manera que cualquier${\displaystyle \phi \in U}$se conjuga con${\displaystyle i}$.

Siempre que tal afirmación sea válida para un par${\displaystyle G\supset \Gamma }$Diremos que se cumple la rigidez local.

La rigidez local se cumple para redes co-compactas en${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {C} )}$Una red${\displaystyle \Gamma }$en${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {C} )}$que no es cocompacto tiene deformaciones no triviales provenientes de la teoría de cirugía hiperbólica de Dehn de Thurston . Sin embargo, si se agrega la restricción de que una representación debe enviar elementos parabólicos en${\displaystyle \Gamma }$En el caso de elementos parabólicos, se cumple la rigidez local.

En este caso, la rigidez local nunca se cumple (excepto en grupos triangulares cocompactos ). Para redes cocompactos, una pequeña deformación sigue siendo una red cocompacto, pero puede que no sea conjugada a la original (véase el espacio de Teichmüller para más detalles). Las redes no cocompactos son prácticamente libres y, por lo tanto, presentan deformaciones que no son reticulares.

La rigidez local se cumple para retículos en grupos de Lie semisimples siempre que estos últimos no tengan ningún factor de tipo A1 (es decir, localmente isomorfo a${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {R} )}$o${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {C} )}$) o la primera es irreductible.