Parámetro local

En la geometría de curvas algebraicas complejas , un parámetro local para una curva C en un punto suave P es una función meromorfa en C que tiene un cero simple en P. Este concepto puede generalizarse a curvas definidas sobre cuerpos distintos de (o esquemas ), porque el anillo local en un punto suave P de una curva algebraica C (definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado ) es siempre un anillo de valuación discreta . ^{[ 1 ]} Esta valuación mostrará una forma de contar el orden (en el punto P ) de funciones racionales (que son generalizaciones naturales para funciones meromorfas en el ámbito no complejo) que tienen un cero o un polo en P.${\displaystyle \mathbb {C} }$

Los parámetros locales, como su nombre indica, se utilizan principalmente para contar correctamente las multiplicidades de forma local.

Si C es una curva algebraica compleja, se cuentan las multiplicidades de ceros y polos de funciones meromorfas definidas en ella. ^{[ 2 ]} Sin embargo, al discutir curvas definidas sobre cuerpos distintos de , si no se tiene acceso al poder del análisis complejo , se debe encontrar un reemplazo para definir las multiplicidades de ceros y polos de funciones racionales definidas en tales curvas. En este último caso, se dice que el germen de la función regular se anula en si . Esto es completamente análogo al caso complejo, en el que el ideal maximal del anillo local en un punto P está realmente conformado por los gérmenes de funciones holomorfas que se anulan en P . ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle P\in C}$${\displaystyle f\in m_{P}\subset {\mathcal {O}}_{C,P}}$

La función de valoración en viene dada por ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$

${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(f)=\max\{d=0,1,2,\ldots :f\in m_{P}^{d}\};}$

Esta valoración puede extenderse naturalmente a K ( C ) (que es el campo de las funciones racionales de C) porque es el campo de las fracciones de . Por lo tanto, la idea de tener un cero simple en un punto P ahora está completa: será una función racional tal que su germen cae en , con d como máximo 1. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$${\displaystyle f\in K(C)}$${\displaystyle m_{P}^{d}}$

Esto tiene una semejanza algebraica con el concepto de parámetro uniformizador (o simplemente uniformizador ) que se encuentra en el contexto de los anillos de valuación discreta en el álgebra conmutativa ; un parámetro uniformizador para el DVR ( R, m ) es simplemente un generador del ideal maximal m . El vínculo proviene del hecho de que un parámetro local en P será un parámetro uniformizador para el DVR ( , ), de ahí el nombre. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$${\displaystyle m_{P}}$

Sea C una curva algebraica definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K , y sea K ( C ) el cuerpo de funciones racionales de C. La valuación en K ( C ) correspondiente a un punto suave se define como , donde es la valuación usual en el anillo local ( , ). Un parámetro local para C en P es una función tal que . ${\displaystyle P\in C}$${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(f/g)=\operatorname {ord} _{P}(f)-\operatorname {ord} _{P}(g)}$${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$${\displaystyle m_{P}}$${\displaystyle t\in K(C)}$${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(t)=1}$