Prueba de Ljung-Box

La prueba de Ljung-Box (llamada así por Greta M. Ljung y George EP Box ) es un tipo de prueba estadística que determina si alguna de las autocorrelaciones de una serie temporal es distinta de cero. En lugar de evaluar la aleatoriedad en cada retardo individual, evalúa la aleatoriedad "general" en función de varios retardos, por lo que se trata de una prueba combinada .

Esta prueba se conoce a veces como la prueba Q de Ljung-Box y está estrechamente relacionada con la prueba de Box-Pierce (que recibe su nombre de George E.P. Box y David A. Pierce). De hecho, el estadístico de la prueba de Ljung-Box se describió explícitamente en el artículo que dio origen al uso del estadístico de Box-Pierce, ^{[ 1 ] [ 2 ]} y del cual este último toma su nombre. El estadístico de la prueba de Box-Pierce es una versión simplificada del estadístico de Ljung-Box, para el cual estudios de simulación posteriores han mostrado un rendimiento deficiente. ^{[ 3 ]}

La prueba de Ljung-Box se aplica ampliamente en econometría y otras aplicaciones de análisis de series temporales . Una evaluación similar también puede realizarse con la prueba de Breusch-Godfrey y la prueba de Durbin-Watson .

La prueba de Ljung-Box puede definirse como:

${\displaystyle H_{0}}$Los datos no están correlacionados (es decir , las correlaciones en la población de la que se toma la muestra son 0, por lo que cualquier correlación observada en los datos resulta de la aleatoriedad del proceso de muestreo).

${\displaystyle H_{a}}$Los datos presentan autocorrelación.

El estadístico de prueba es: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle Q=n(n+2)\sum _{k=1}^{h}{\frac {{\hat {\rho }}_{k}^{2}}{n-k}}}$

donde n es el tamaño de la muestra,${\displaystyle {\hat {\rho }}_{k}}$es la autocorrelación de la muestra en el retardo k , y h es el número de retardos que se están probando. Bajo${\displaystyle H_{0}}$La estadística Q sigue asintóticamente una${\displaystyle \chi _{(h)}^{2}}$Para un nivel de significancia α, la región crítica para el rechazo de la hipótesis de aleatoriedad es:

${\displaystyle Q>\chi _{1-\alpha ,h}^{2}}$

dónde${\displaystyle \chi _{1-\alpha ,h}^{2}}$es el cuantil (1  − α ) ^{[ 4 ]} de la distribución chi-cuadrado con h grados de libertad. 

La prueba de Ljung-Box se usa comúnmente en el modelado de media móvil integrada autorregresiva (ARIMA). Nótese que se aplica a los residuos de un modelo ARIMA ajustado, no a la serie original, y en tales aplicaciones la hipótesis que se prueba es que los residuos del modelo ARIMA no tienen autocorrelación. Al probar los residuos de un modelo ARIMA estimado, los grados de libertad deben ajustarse para reflejar la estimación de parámetros. Por ejemplo, para un modelo ARIMA( p , 0, q ), los grados de libertad deben establecerse en${\displaystyle h-p-q}$. ^{[ 5 ]}

La prueba de Box-Pierce utiliza el estadístico de prueba, en la notación descrita anteriormente, dado por ^{[ 1 ].}

${\displaystyle Q_{\text{BP}}=n\sum _{k=1}^{h}{\hat {\rho }}_{k}^{2},}$

y utiliza la misma región crítica definida anteriormente.

Los estudios de simulación han demostrado que la distribución para la estadística de Ljung-Box está más cerca de una${\displaystyle \chi _{(h)}^{2}}$distribución que es la distribución para el estadístico de Box-Pierce para todos los tamaños de muestra, incluidos los pequeños.

• R : la Box.testfunción del paquete stats ^{[ 6 ]}
• Python : la acorr_ljungboxfunción en el statsmodelspaquete ^{[ 7 ]}
• Julia : las pruebas de Ljung-Box y las pruebas de Box-Pierce en el HypothesisTestspaquete ^{[ 8 ]}
• SPSS : el estadístico de Box-Ljung se incluye de forma predeterminada en los resultados generados por el módulo de pronóstico de IBM SPSS Statistics.

• Estadístico Q
• Wald-Wolfowitz realiza una prueba
• Prueba de Breusch-Godfrey
• Prueba de Durbin-Watson

• Brockwell, Peter; Davis, Richard (2002). Introducción a las series temporales y la previsión (2.ª  ed.). Springer. págs. 35–38 . ISBN  978-0-387-94719-8.
• Enders, Walter (2010). Series temporales econométricas aplicadas (Tercera  ed.). Nueva York: Wiley. pp. 69–70 . ISBN  978-0470-50539-7.
• Hayashi, Fumio (2000). Econometría . Princeton University Press. pp. 142–144 . ISBN  978-0-691-01018-2.

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