Fase lineal

En el procesamiento de señales , la fase lineal es una propiedad de un filtro cuya respuesta de fase es una función lineal de la frecuencia . Esto significa que todos los componentes de frecuencia de la señal de entrada se desfasan en el tiempo (generalmente se retrasan) en la misma cantidad constante (la pendiente de la función lineal), lo que se conoce como retardo de grupo . Por consiguiente, no se produce distorsión de fase debido al retardo temporal de las frecuencias entre sí.

Los filtros de fase cero son un caso especial de filtros de fase lineal donde el retardo de grupo es cero. En el procesamiento de señales digitales no en tiempo real, esto se puede obtener de cualquier filtro de fase lineal simplemente desplazando la salida filtrada de dicho filtro hacia atrás en el tiempo según el retardo de grupo del filtro de fase lineal; por lo tanto, a veces todos los filtros de fase lineal se denominan informalmente filtros de fase cero. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Para señales de tiempo discreto , la fase lineal perfecta se logra fácilmente con un filtro de respuesta de impulso finito (FIR) mediante coeficientes simétricos o antisimétricos. ^{[ 3 ]} Se pueden lograr aproximaciones con diseños de respuesta de impulso infinito (IIR), que son computacionalmente más eficientes. Varias técnicas son:

• una función de transferencia de Bessel que tiene una función de aproximación de retardo de grupo máximamente plana
• un ecualizador de fase

Un filtro se denomina filtro de fase lineal si el componente de fase de la respuesta en frecuencia es una función lineal de la frecuencia. Para una aplicación en tiempo continuo, la respuesta en frecuencia del filtro es la transformada de Fourier de la respuesta impulsional del filtro , y una versión de fase lineal tiene la forma $${\displaystyle H(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega \tau },}$$ donde A ( ω ) es una función de valor real, y${\displaystyle \tau }$es el retardo del grupo.

Para una aplicación de tiempo discreto, la transformada de Fourier de tiempo discreto de la respuesta al impulso de fase lineal tiene la forma $${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2},}$$ donde A ( ω ) es una función de valor real con periodicidad 2π, k es un número entero y k /2 es el retardo de grupo en unidades de muestras.

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )}$es una serie de Fourier que también puede expresarse en términos de la transformada Z de la respuesta impulsional del filtro: $${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }),}$$ donde el${\displaystyle {\widehat {H}}}$La notación distingue la transformada Z de la transformada de Fourier.

Cuando una sinusoide${\displaystyle sin(\omega t+\theta )}$pasa a través de un filtro con retardo de grupo constante (independiente de la frecuencia)${\displaystyle \tau ,}$el resultado es $${\displaystyle A(\omega )\sin[\omega (t-\tau )+\theta ]=A(\omega )\sin(\omega t+\theta -\omega \tau ),}$$ dónde${\displaystyle A(\omega )}$es un multiplicador de amplitud dependiente de la frecuencia, el desplazamiento de fase${\displaystyle \omega \tau }$es una función lineal de la frecuencia angular${\displaystyle \omega }$, y${\displaystyle -\tau }$es la pendiente.

De ello se deduce que una función exponencial compleja $${\displaystyle e^{i(\omega t+\theta )}=\cos(\omega t+\theta )+i\sin(\omega t+\theta )}$$ se transforma en ^{[ nota 1 ]}$${\displaystyle A(\omega )e^{i[\omega (t-\tau )+\theta ]}=e^{i(\omega t+\theta )}A(\omega )e^{-i\omega \tau }.}$$

Para una fase aproximadamente lineal, basta con tener esa propiedad solo en la (s) banda (s) de paso del filtro, donde | A ( ω )| tiene valores relativamente grandes. Por lo tanto, tanto los gráficos de magnitud como de fase ( diagramas de Bode ) se utilizan habitualmente para examinar la linealidad de un filtro. Un gráfico de fase "lineal" puede contener discontinuidades de π y/o 2π radianes. Las más pequeñas ocurren donde A ( ω ) cambia de signo. Dado que | A ( ω )| no puede ser negativo, los cambios se reflejan en el gráfico de fase. Las discontinuidades de 2π ocurren debido a que se grafica el valor principal de${\displaystyle \omega \tau }$en lugar del valor real.

En aplicaciones de tiempo discreto, debido a la periodicidad y la simetría, solo se examina la región de frecuencias entre 0 y la frecuencia de Nyquist . Dependiendo de las unidades de frecuencia , la frecuencia de Nyquist puede ser 0,5, 1,0, π o la mitad de la frecuencia de muestreo real. A continuación se muestran algunos ejemplos de fase lineal y no lineal.

Diagramas de Bode . Las discontinuidades de fase son de π radianes, lo que indica un cambio de signo.

Las discontinuidades de fase se eliminan permitiendo amplitudes negativas.

Dos representaciones de la respuesta en frecuencia de un filtro FIR simple.

Un filtro de tiempo discreto con fase lineal puede lograrse mediante un filtro FIR que sea simétrico o antisimétrico. ^{[ 4 ]} Una condición necesaria pero no suficiente es $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\sin[\omega \cdot (n-\alpha )+\beta ]=0}$$ para algunos${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$. ^{[ 5 ]}

En el procesamiento de señales digitales, los filtros LTI de respuesta de impulso infinita (IIR) suelen ser mucho más eficientes computacionalmente que los filtros FIR, pero casi nunca presentan un comportamiento de fase lineal. Sin embargo, cuando el procesamiento de la señal se realiza fuera de línea, cualquier filtro LTI arbitrario puede hacerse de fase cero mediante filtrado bidireccional o filtrado hacia adelante-hacia atrás : ejecutar el filtro dos veces, la segunda vez con el tiempo invertido. ^{[ 1 ] [ 6 ]} (Para un filtro causal , este segundo paso es anticausal, por lo que no se ha demostrado que sea posible utilizar este enfoque en tiempo real ). Esto cancela los retardos de fase variables resultantes del primer paso y eleva al cuadrado la ganancia del filtro en cada frecuencia; para un filtro paso banda, esto resulta en el doble de atenuación en la banda de rechazo y el doble de rizado en la banda de paso. ^{[ 7 ]}

La mayoría de los programas de procesamiento de señales más populares, como SciPy , GNU Octave y R, tienen una función integrada para este propósito, generalmente llamada filtfilt. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

Los sistemas con fase lineal generalizada tienen una constante adicional independiente de la frecuencia.${\displaystyle \beta }$añadido a la fase. En el caso de tiempo discreto, por ejemplo, la respuesta en frecuencia tiene la forma $${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2+j\beta },}$$$${\displaystyle \arg[H_{2\pi }(\omega )]=\beta -\omega k/2\quad {\text{para}}\ {-\pi }<\omega <\pi ,}$$

Debido a esta constante, la fase del sistema no es una función estrictamente lineal de la frecuencia, pero conserva muchas de las propiedades útiles de los sistemas de fase lineal. ^{[ 11 ]}

• Fase mínima