Regla de la palanca

En química , la regla de la palanca es una fórmula que se utiliza para determinar la fracción molar ( x _i ) o la fracción de masa ( w _i ) de cada fase de un diagrama de fases de equilibrio binario . Se puede utilizar para determinar la fracción de fases líquida y sólida para una composición binaria y una temperatura dadas que se encuentran entre la línea de liquidus y solidus . ^[1]

En una aleación o una mezcla con dos fases, α y β, que contienen dos elementos , A y B, la regla de la palanca establece que la fracción de masa de la fase α es

${\displaystyle w^{\alpha }={\frac {w_{\rm {B}}-w_{\rm {B}}^{\beta }}{w_{\rm {B}}^{\alpha }-w_{\rm {B}}^{\beta }}}}$

dónde

• ${\displaystyle w_{\rm {B}}^{\alpha }}$es la fracción de masa del elemento B en la fase α
• ${\displaystyle w_{\rm {B}}^{\beta }}$es la fracción de masa del elemento B en la fase β
• $estilo de visualización w_{\rm {B}}}$es la fracción de masa del elemento B en toda la aleación o mezcla

Todo ello a una temperatura o presión fija.

Supongamos que una aleación a una temperatura de equilibrio T consta de una fracción de masa del elemento B. Supongamos también que a la temperatura T la aleación consta de dos fases, α y β, para las que α consta de , y β consta de . Sea la masa de la fase α en la aleación de modo que la masa de la fase β sea , donde es la masa total de la aleación. $estilo de visualización w_{\rm {B}}}$${\displaystyle w_{\rm {B}}^{\alpha }}$${\displaystyle w_{\rm {B}}^{\beta }}$${\displaystyle m^{\alpha}}$${\displaystyle m^{\beta }=mm^{\alpha }}$${\estilo de visualización m}$

Por definición, entonces, la masa del elemento B en la fase α es , mientras que la masa del elemento B en la fase β es . Juntas, estas dos cantidades suman la masa total del elemento B en la aleación, que está dada por . Por lo tanto, ${\displaystyle m_{\rm {B}}^{\alpha }=w_{\rm {B}}^{\alpha }m^{\alpha }}$${\displaystyle m_{\rm {B}}^{\beta }=w_{\rm {B}}^{\beta }\left(mm^{\alpha }\right)}$${\displaystyle m_{\rm {B}}=w_{\rm {B}}m}$

${\displaystyle w_{\rm {B}}m=m_{\rm {B}}=m_{\rm {B}}^{\alpha }+m_{\rm {B}}^{\beta }=w_{\rm {B}}^{\alpha }m^{\alpha }+w_{\rm {B}}^{\beta }\left(mm^{\alpha }\right)}$

Al reorganizar, se encuentra que

${\displaystyle w^{\alpha }\equiv {\frac {m^{\alpha }}{m}}={\frac {w_{\rm {B}}-w_{\rm {B}}^{\beta }}{w_{\rm {B}}^{\alpha }-w_{\rm {B}}^{\beta }}}}$

Esta fracción final es la fracción de masa de la fase α en la aleación.

Antes de realizar cualquier cálculo, se traza una línea de unión en el diagrama de fases para determinar la fracción de masa de cada elemento; en el diagrama de fases de la derecha, es el segmento de línea LS. Esta línea de unión se traza horizontalmente a la temperatura de la composición de una fase a otra (aquí, del líquido al sólido). La fracción de masa del elemento B en el estado líquido se da por w _B ^l (representada como w _l en este diagrama) y la fracción de masa del elemento B en el estado sólido se da por w _B ^s (representada como w _s en este diagrama). La fracción de masa del sólido y del líquido se puede calcular entonces utilizando las siguientes ecuaciones de la regla de la palanca: ^[1]

${\displaystyle w^{\rm {s}}={\frac {w_{\rm {B}}-w_{\rm {B}}^{\rm {l}}}{w_{\rm {B}}^{\rm {s}}-w_{\rm {B}}^{\rm {l}}}}}$

${\displaystyle w^{\rm {l}}={\frac {w_{\rm {B}}^{\rm {s}}-w_{\rm {B}}}{w_{\rm {B}}^{\rm {s}}-w_{\rm {B}}^{\rm {l}}}}}$

donde w _B es la fracción de masa del elemento B para la composición dada (representada como w _o en este diagrama).

El numerador de cada ecuación es la composición original que nos interesa +/- el brazo de palanca opuesto . Es decir, si quieres la fracción de masa del sólido, entonces toma la diferencia entre la composición del líquido y la composición original. Y luego el denominador es la longitud total del brazo, es decir, la diferencia entre las composiciones del sólido y del líquido. Si tienes dificultades para comprender por qué es así, intenta visualizar la composición cuando w _o se acerca a w _l . Entonces, la concentración del líquido comenzará a aumentar.

Ahora hay más de una región de dos fases. La línea de unión trazada va desde el sólido alfa hasta el líquido y, al trazar una línea vertical hacia abajo en estos puntos, se lee directamente en el gráfico la fracción de masa de cada fase, es decir, la fracción de masa en el elemento del eje x. Se pueden utilizar las mismas ecuaciones para encontrar la fracción de masa de la aleación en cada una de las fases, es decir, w ^l es la fracción de masa de toda la muestra en la fase líquida. ^[2]