Acoplamiento del momento angular

En mecánica cuántica , el acoplamiento del momento angular es el procedimiento de construir autoestados del momento angular total a partir de autoestados de momentos angulares individuales. Por ejemplo, la órbita y el espín de una sola partícula pueden interactuar mediante la interacción espín-órbita , en cuyo caso la descripción física completa debe incluir el acoplamiento espín-órbita. O dos partículas cargadas, cada una con un momento angular bien definido, pueden interactuar mediante fuerzas de Coulomb , en cuyo caso el acoplamiento de los dos momentos angulares de una partícula a un momento angular total es un paso útil en la solución de la ecuación de Schrödinger de dos partículas . En ambos casos, los momentos angulares individuales ya no son constantes de movimiento , pero la suma de los dos momentos angulares generalmente sí lo es. El acoplamiento del momento angular en los átomos es importante en la espectroscopia atómica . El acoplamiento del momento angular de los espines electrónicos es importante en la química cuántica . También en el modelo de capas nucleares el acoplamiento del momento angular es omnipresente. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

En astronomía , el acoplamiento espín-órbita refleja la ley general de conservación del momento angular , que también se aplica a los sistemas celestes. En casos sencillos, se desprecia la dirección del vector de momento angular , y el acoplamiento espín-órbita es la relación entre la frecuencia con la que un planeta u otro cuerpo celeste gira sobre su propio eje y la frecuencia con la que orbita alrededor de otro cuerpo. Esto se conoce comúnmente como resonancia orbital . A menudo, los efectos físicos subyacentes son las fuerzas de marea .

Teoría general y origen detallado

Conservación del momento angular

La conservación del momento angular es el principio que establece que el momento angular total de un sistema tiene una magnitud y dirección constantes si el sistema no está sometido a ningún par externo . El momento angular es una propiedad de un sistema físico que es una constante de movimiento (también denominada propiedad conservada , independiente del tiempo y bien definida) en dos situaciones:

El sistema experimenta un campo potencial con simetría esférica.
El sistema se mueve (en el sentido de la mecánica cuántica) en un espacio isotrópico.

En ambos casos, el operador de momento angular conmuta con el hamiltoniano del sistema. Según la relación de incertidumbre de Heisenberg , esto significa que el momento angular y la energía (autovalor del hamiltoniano) pueden medirse simultáneamente.

Un ejemplo de la primera situación es un átomo cuyos electrones solo experimentan la fuerza de Coulomb de su núcleo atómico . Si ignoramos la interacción electrón-electrón (y otras interacciones menores como el acoplamiento espín-órbita ), el momento angular orbital $l$ de cada electrón conmuta con el hamiltoniano total. En este modelo, el hamiltoniano atómico es una suma de las energías cinéticas de los electrones y las interacciones electrón-núcleo con simetría esférica. Los momentos angulares individuales de los electrones $l i$ conmutan con este hamiltoniano. Es decir, son propiedades conservadas de este modelo aproximado del átomo.

Un ejemplo de la segunda situación es un rotor rígido que se mueve en un espacio libre de campos. Un rotor rígido tiene un momento angular bien definido e independiente del tiempo.

Estas dos situaciones tienen su origen en la mecánica clásica. El tercer tipo de momento angular conservado, asociado al espín , no tiene una contraparte clásica. Sin embargo, todas las reglas de acoplamiento del momento angular se aplican también al espín.

En general, la conservación del momento angular implica simetría rotacional completa (descrita por los grupos SO(3) y SU(2) ) y, a la inversa, la simetría esférica implica conservación del momento angular. Si dos o más sistemas físicos tienen momentos angulares conservados, puede ser útil combinar estos momentos para obtener un momento angular total del sistema combinado , una propiedad conservada del sistema total. La construcción de autoestados del momento angular total conservado a partir de los autoestados de momento angular de los subsistemas individuales se denomina acoplamiento de momento angular .

La aplicación del acoplamiento del momento angular resulta útil cuando existe una interacción entre subsistemas que, sin interacción, conservarían el momento angular. Esta interacción rompe la simetría esférica de los subsistemas, pero el momento angular del sistema total permanece constante. Este último hecho es útil para la resolución de la ecuación de Schrödinger.

Ejemplos

Como ejemplo, consideremos dos electrones en un átomo (digamos, el átomo de helio ) etiquetados con $i$ = 1 y 2. Si no hay interacción electrón-electrón, sino solo interacción electrón-núcleo, entonces los dos electrones pueden girar alrededor del núcleo independientemente uno del otro; su energía permanece inalterada. Los valores esperados de ambos operadores, $l$ ₁ y $l$ ₂ , se conservan. Sin embargo, si activamos la interacción electrón-electrón que depende de la distancia $d$ (1,2) entre los electrones, entonces solo una rotación simultánea e igual de los dos electrones dejará $d$ (1,2) invariante. En tal caso, el valor esperado de $l$ ₁ y $l$ ₂ no es una constante de movimiento en general, pero el valor esperado del operador de momento angular orbital total $L$ = $l$ ₁ + $l$ ₂ sí lo es. Dados los autoestados de $l$ ₁ y $l$ ₂ , la construcción de los autoestados de $L$ (que aún se conserva) es el acoplamiento de los momentos angulares de los electrones 1 y 2.

El número cuántico de momento angular orbital total $L$ está restringido a valores enteros y debe satisfacer la condición triangular que $|l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}$ , de tal manera que los tres valores enteros no negativos pudieran corresponder a los tres lados de un triángulo. ^{[ 3 ]}

En mecánica cuántica , también existe acoplamiento entre los momentos angulares pertenecientes a diferentes espacios de Hilbert de un mismo objeto, por ejemplo, su espín y su momento angular orbital . Si el espín tiene valores semi-enteros , como 1/2 para un electrón, entonces el momento angular total (orbital más espín) también estará restringido a valores semi-enteros .

Reiterando lo anterior con algunas modificaciones: se expanden los estados cuánticos de sistemas compuestos (es decir, formados por subunidades como dos átomos de hidrógeno o dos electrones ) en conjuntos base formados por productos tensoriales de estados cuánticos que, a su vez, describen los subsistemas individualmente. Suponemos que los estados de los subsistemas pueden elegirse como autoestados de sus operadores de momento angular (y de su componente a lo largo de cualquier eje $z$ arbitrario ).

Por lo tanto, los subsistemas se describen correctamente mediante un par de números cuánticos $ℓ$ y $m$ (véase el apartado de momento angular para más detalles). Cuando existe interacción entre los subsistemas, el hamiltoniano total contiene términos que no conmutan con los operadores angulares que actúan únicamente sobre los subsistemas. Sin embargo, estos términos sí conmutan con el operador de momento angular total . A veces, los términos de interacción no conmutativos del hamiltoniano se denominan términos de acoplamiento de momento angular , ya que requieren dicho acoplamiento.

acoplamiento espín-órbita

El comportamiento de los átomos y partículas más pequeñas se describe adecuadamente mediante la teoría de la mecánica cuántica , en la que cada partícula posee un momento angular intrínseco llamado espín , y las configuraciones específicas (por ejemplo, de los electrones en un átomo) se describen mediante un conjunto de números cuánticos . Los conjuntos de partículas también poseen momentos angulares y sus correspondientes números cuánticos, y bajo diferentes circunstancias, los momentos angulares de las partes se acoplan de distintas maneras para formar el momento angular del conjunto. El acoplamiento del momento angular es una categoría que incluye algunas de las formas en que las partículas subatómicas pueden interactuar entre sí.

En física atómica , el acoplamiento espín-órbita , también conocido como apareamiento de espín , describe una interacción magnética débil, o acoplamiento , entre el espín de una partícula y su movimiento orbital ; por ejemplo, el espín del electrón y su movimiento alrededor de un núcleo atómico . Uno de sus efectos es la separación de la energía de los estados internos del átomo, como los espines alineados y antialineados, que de otro modo tendrían la misma energía. Esta interacción es responsable de muchos detalles de la estructura atómica.

En física del estado sólido , el acoplamiento del espín con el movimiento orbital puede provocar la división de las bandas de energía debido a los efectos Dresselhaus o Rashba .

En el mundo macroscópico de la mecánica orbital , el término acoplamiento espín-órbita se utiliza a veces en el mismo sentido que resonancia espín-órbita .

Acoplamiento LS

En átomos ligeros (generalmente Z ≤ 30 ^{[ 4 ]} ), los espines electrónicos s _i interactúan entre sí, de modo que se combinan para formar un momento angular de espín total S . Lo mismo ocurre con los momentos angulares orbitales ℓ _i , formando un momento angular orbital total L . La interacción entre los números cuánticos L y S se denomina acoplamiento de Russell - Saunders (en honor a Henry Norris Russell y Frederick Saunders ) o acoplamiento LS . Entonces S y L se acoplan y forman un momento angular total J : ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} ,\,

donde L y S son los totales:

\mathbf {L} =\sum _{i}{\boldsymbol {\ell }}_{i},\ \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {s} _{i}.\,

Esta es una aproximación válida siempre que los campos magnéticos externos sean débiles. En campos magnéticos más intensos, estos dos momentos se desacoplan, dando lugar a un patrón de desdoblamiento diferente en los niveles de energía (el efecto Paschen-Back ), y el tamaño del término de acoplamiento LS se vuelve pequeño. ^{[ 7 ]}

Para un ejemplo extenso sobre cómo se aplica en la práctica el acoplamiento LS, consulte el artículo sobre símbolos de término .

acoplamiento jj

En átomos más pesados la situación es diferente. En átomos con cargas nucleares mayores, las interacciones espín-órbita suelen ser tan grandes o mayores que las interacciones espín-espín o las interacciones órbita-órbita. En esta situación, cada momento angular orbital ℓ _i tiende a combinarse con el momento angular de espín individual correspondiente s _i , originando un momento angular total individual j _i . Estos se acoplan para formar el momento angular total J

\mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {j} _{i}=\sum _{i}({\boldsymbol {\ell }}_{i}+\mathbf {s} _{i}).

Esta descripción, que facilita el cálculo de este tipo de interacción, se conoce como acoplamiento jj .

Acoplamiento espín-espín

El acoplamiento espín-espín es el acoplamiento del momento angular intrínseco ( espín ) de diferentes partículas. El acoplamiento J entre pares de espines nucleares es una característica importante de la espectroscopia de resonancia magnética nuclear (RMN), ya que puede proporcionar información detallada sobre la estructura y conformación de las moléculas. El acoplamiento espín-espín entre el espín nuclear y el espín electrónico es responsable de la estructura hiperfina en los espectros atómicos . ^{[ 8 ]}

Símbolos de términos

Los símbolos de término se utilizan para representar los estados y las transiciones espectrales de los átomos, y se obtienen a partir del acoplamiento de los momentos angulares mencionados anteriormente. Cuando el estado de un átomo se ha especificado con un símbolo de término, las transiciones permitidas se pueden encontrar mediante reglas de selección considerando qué transiciones conservarían el momento angular . Un fotón tiene espín 1, y cuando hay una transición con emisión o absorción de un fotón, el átomo necesitará cambiar de estado para conservar el momento angular. Las reglas de selección del símbolo de término son: $Δ S$ = 0; $Δ L$ = 0, ±1; $Δ l$ = ± 1; $Δ J$ = 0, ±1 .

La expresión «símbolo de término» deriva de la «serie de términos» asociada a los estados de Rydberg de un átomo y sus niveles de energía . En la fórmula de Rydberg, la frecuencia o número de onda de la luz emitida por un átomo hidrogenado es proporcional a la diferencia entre los dos términos de una transición. Las series conocidas en los inicios de la espectroscopia se denominaban nítida , principal , difusa y fundamental , y, en consecuencia, las letras $S, P, D$ y $F$ se utilizaban para representar los estados de momento angular orbital de un átomo. ^{[ 9 ]}

Efectos relativistas

En átomos muy pesados, el desplazamiento relativista de las energías de los niveles de energía electrónica acentúa el efecto de acoplamiento espín-órbita. Por lo tanto, por ejemplo, los diagramas de orbitales moleculares del uranio deben incorporar directamente símbolos relativistas al considerar las interacciones con otros átomos.

Acoplamiento nuclear

En los núcleos atómicos, la interacción espín-órbita es mucho más fuerte que en los electrones atómicos y se incorpora directamente al modelo de capas nucleares. Además, a diferencia de los símbolos de términos de electrones atómicos, el estado de energía más bajo no es $L - S$ , sino $ℓ + s$ . Por lo tanto, todos los niveles nucleares cuyo valor de $ℓ$ (momento angular orbital) es mayor que cero se dividen en el modelo de capas para crear estados designados por $ℓ + s$ y $ℓ - s$ . Debido a la naturaleza del modelo de capas , que asume un potencial promedio en lugar de un potencial coulombiano central, los nucleones que entran en los estados nucleares $ℓ + s$ y $ℓ - s$ se consideran degenerados dentro de cada orbital (por ejemplo, el 2 $p$ ⁠ 3 / 2 ⁠ $contiene cuatro nucleones, todos de la misma energía. El 2 p$ ⁠ 1 / 2 ⁠ tiene mayor energía y contiene dos nucleones de igual energía).

Véase también

Notas

↑ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.
↑ PW Atkins (1974). Quanta: A handbook of concepts . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
↑ Merzbacher, Eugen (1998). Mecánica cuántica (3.ª ed.). John Wiley. págs. 428–429 . ISBN 0-471-88702-1.
↑ El esquema de acoplamiento de Russell Saunders, RJ Lancashire, UCDavis ChemWiki (consultado el 26 de diciembre de 2015)
↑ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. pág . 281. ISBN 978-0-471-87373-0.
↑ BH Bransden, CJJoachain (1983). Física de átomos y moléculas . Longman. págs. 339–341 . ISBN 0-582-44401-2.
↑ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.
↑ PW Atkins (1974). Quanta: A handbook of concepts . Oxford University Press. p. 226. ISBN 0-19-855493-1.
↑ Herzberg, Gerhard (1945). Espectros atómicos y estructura atómica . Nueva York: Dover. págs. 54-55 . ISBN 0-486-60115-3.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

Enlaces externos

Acoplamiento LS y jj
Símbolo de término
Calculadora web de acoplamientos de espín: modelo de capas, símbolo del término atómico

[1] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.

[2] PW Atkins (1974). Quanta: A handbook of concepts . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.

[3] Merzbacher, Eugen (1998). Mecánica cuántica (3.ª ed.). John Wiley. págs. 428–429 . ISBN 0-471-88702-1.

[4] El esquema de acoplamiento de Russell Saunders, RJ Lancashire, UCDavis ChemWiki (consultado el 26 de diciembre de 2015)

[5] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. pág . 281. ISBN 978-0-471-87373-0.

[6] BH Bransden, CJJoachain (1983). Física de átomos y moléculas . Longman. págs. 339–341 . ISBN 0-582-44401-2.

[7] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.

[8] PW Atkins (1974). Quanta: A handbook of concepts . Oxford University Press. p. 226. ISBN 0-19-855493-1.

[9] Herzberg, Gerhard (1945). Espectros atómicos y estructura atómica . Nueva York: Dover. págs. 54-55 . ISBN 0-486-60115-3.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]