Teorema de Kummer

En matemáticas , el teorema de Kummer es una fórmula para el exponente de la potencia más alta de un número primo p que divide un coeficiente binomial dado. En otras palabras, proporciona la valoración p -ádica de un coeficiente binomial . El teorema recibe su nombre de Ernst Kummer , quien lo demostró en un artículo (Kummer 1852).

El teorema de Kummer establece que, para números enteros dados n  ≥  m  ≥ 0 y un número primo p , la valoración p -ádica del coeficiente binomial es igual al número de acarreos cuando m se suma a n  −  m en base p . ${\displaystyle \nu _{p}\!{\tbinom {n}{m}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ 

Una formación equivalente del teorema es la siguiente:

Escribe la expansión de la base del entero como , y define como la suma de los dígitos de la base. Luego ${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}$${\displaystyle S_{p}(n):=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$${\estilo de visualización p}$

${\displaystyle \nu_{p}\!{\binom {n}{m}}={\dfrac {S_{p}(m)+S_{p}(nm)-S_{p}(n)}{p-1}}.}$

El teorema se puede demostrar escribiendo como y utilizando la fórmula de Legendre . ^[1]${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$${\displaystyle {\frac {n!}{m!(nm)!}}}$

Para calcular la mayor potencia de 2 dividiendo el coeficiente binomial, se escribe m = 3 y n − m = 7 en base p = 2, de modo que 3 = 11 ₂ y 7 = 111 _2. Para realizar la suma 11 ₂ + 111 ₂ = 1010 ₂ en base 2 se requieren tres acarreos: ${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}}$

Por lo tanto la mayor potencia de 2 que divide es 3. ${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15}$

Alternativamente, se puede utilizar la forma que implica sumas de dígitos. Las sumas de dígitos de 3, 7 y 10 en base 2 son , , y respectivamente. Entonces $Estilo de visualización S_{2}(3)=1+1=2$$Estilo de visualización S_{2}(7)=1+1+1=3$$Estilo de visualización S_{2}(10)=1+0+1+0=2$

${\displaystyle \nu _{2}\!{\binom {10}{3}}={\dfrac {S_{2}(3)+S_{2}(7)-S_{2}(10)}{2-1}}={\dfrac {2+3-2}{2-1}}=3.}$

El teorema de Kummer se puede generalizar a coeficientes multinomiales de la siguiente manera: ${\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}}$

${\displaystyle \nu _{p}\!{\binom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\dfrac {1}{p-1}}(n-S_{p}(n)-\sum _{i=1}^{k}(m_{i}-S_{p}(m_{i})\right)\right).}$

• Teorema de Lucas

• Kummer, Ernst (1852). "Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1852 (44): 93-146. doi :10.1515/crll.1852.44.93.
• Teorema de Kummer en PlanetMath .