La función de Kummer

En matemáticas , existen varias funciones conocidas como funciones de Kummer . Una de ellas es la función hipergeométrica confluente de Kummer. Otra, definida a continuación, está relacionada con el polilogaritmo . Ambas reciben su nombre en honor a Ernst Kummer .

La función de Kummer se define por

${\displaystyle \Lambda _{n}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\log ^{n-1}|t|}{1+t}}\;dt.}$

La fórmula de duplicación es

${\displaystyle \Lambda _ {n}(z)+\Lambda _ {n}(-z)=2^{1-n}\Lambda _ {n}(-z^{2})}$.

Compárelo con la fórmula de duplicación para el polilogaritmo:

${\displaystyle \operatorname {Li} _ {n}(z)+\operatorname {Li} _ {n}(-z)=2^{1-n}\operatorname {Li} _ {n}(z^{2}).}$

Se proporciona un vínculo explícito con el polilogaritmo mediante

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\operatorname {Li} _{n}(1)\;\;+\;\;\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}\;{\frac {\log ^{k}|z|}{k!}}\;\operatorname {Li} _{nk}(z)\;\;+\;\;{\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\;\left[\Lambda _{n}(-1)-\Lambda _{n}(-z)\right].}$

• Lewin, Leonard, ed. (1991), Propiedades estructurales de los polilogaritmos , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4532-2.