Reducción de Kron

En ingeniería eléctrica , la reducción de Kron es un método utilizado para reducir o eliminar el nodo deseado sin necesidad de repetir los pasos como en la eliminación gaussiana . ^{[ 1 ]}

Recibe su nombre en honor al ingeniero eléctrico húngaro-estadounidense Gabriel Kron .

La reducción de Kron es una herramienta útil para eliminar nodos no utilizados en una matriz de parámetros Y. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Por ejemplo, tres elementos lineales conectados en serie con un puerto en cada extremo pueden modelarse fácilmente como una matriz de admitancia nodal de 4x4 de parámetros Y, pero normalmente solo se necesitan considerar los dos nodos de puerto para el modelado y la simulación. La reducción de Kron puede utilizarse para eliminar los nodos internos, reduciendo así la matriz de parámetros Y de cuarto orden a una matriz de parámetros Y de segundo orden. La matriz de parámetros Y de segundo orden se convierte luego más fácilmente en una matriz de parámetros Z o una matriz de parámetros S cuando sea necesario.

Operaciones matriciales

Consideremos una matriz general de parámetros Y que puede crearse a partir de una combinación de elementos lineales construidos de tal manera que existan dos nodos internos.

${\displaystyle Y{_{4}}{_{X}}{_{4}}={\begin{bmatrix}Y{_{1}}{_{1}}&Y{_ {1}}{_{2}}&Y{_{1}}{_{3}}&Y{_{1}}{_{4}}\\Y{_{2}}{_{1}}&Y{_{2}}{_{2}}&Y{_{2}}{_{3}}&Y{_{ 2}}{_{4}}\\Y{_{3}}{_{1}}&Y{_{3}}{_{2}}&Y{_ {3}}{_{3}}&Y{_{3}}{_{4}}\\Y{_{4}}{_{1}}&Y{_{4}}{_{2}}&Y{_{4}}{_{3}}&Y{_{4}}{_{4}}\\\end{bmatrix}}}$

Si bien es posible utilizar la matriz de 4x4 en simulaciones o construir una matriz de parámetros S de 4x4, puede ser más sencillo reducir la matriz de parámetros Y a una de 2x2 eliminando los dos nodos internos mediante la reducción de Kron, y luego simular con una matriz de 2x2 o convertirla a una matriz de parámetros S o Z de 2x2.

${\displaystyle Y'{_{2}}{_{X}}{_{2}}={\begin{bmatrix}Y'{_{1}}{_{1}}&Y'{_{1}}{_{2}}\\Y'{_{2}}{_{1}}&Y'{_{2}}{_{2}}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {Donde\ Y'\ es\ la\ matriz\ reducida\ de Kron} }$

El proceso para ejecutar una reducción de Kron es el siguiente: ^{[ 4 ]}

Seleccione la fila y columna K que se utiliza para modelar los nodos internos no deseados que se eliminarán. Aplique la siguiente fórmula a todas las demás entradas de la matriz que no se encuentren en la fila y columna K. A continuación, simplemente elimine la fila y columna K de la matriz, lo que reduce su tamaño en uno.

Reducción de Kron para la k-ésima fila/columna de una matriz NxN:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}Y'{_{i}}{_{j}}=Y{_{i}}{_{j}}-{\frac {Y{_{i}}{_{k}}Y{_{j}}{_{k}}}{Y{_{k}}{_{k}}}},&\qquad para\ i\neq k,,j\neq k\\&\qquad \mathrm {Donde\ Y'\ es\ La\ Entrada\ de\ Matriz\ de\ Reemplazo} \\\end{aligned}}}$

Los elementos lineales que también son pasivos siempre forman una matriz de parámetros Y simétrica, es decir,${\displaystyle Y{_{i}}{_{j}}=Y{_{j}}{_{i}}}$En todos los casos. El número de cálculos de una reducción de Kron puede reducirse aprovechando esta simetría, como se muestra en la ecuación siguiente.

Reducción de Kron para matrices simétricas NxN:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=i}^{N}Y'{_{i}}{_{j}}=Y{_{i}}{_{j}}-{\frac {Y{_{i}}{_{k}}Y{_{j}}{_{k}}}{Y{_{k}}{_{k}}}},\qquad para\ i\neq k,j\neq k\\&Y{_{j}}{_{i}}=Y{_{i}}{_{j}},\qquad para\ i\neq j\\\end{aligned}}}$

Una vez que todas las entradas de la matriz se hayan modificado mediante la ecuación de reducción de Kron, se puede eliminar la fila/columna K, y el orden de la matriz se reduce en uno. Repita el proceso para todos los nodos internos que se deseen eliminar.

El concepto detrás de la reducción de Kron es bastante simple. Los parámetros Y se miden usando nodos conectados a tierra, pero los nodos no utilizados, es decir, los nodos sin puertos, no necesariamente están conectados a tierra y su estado no se conoce directamente desde el exterior. Por lo tanto, la matriz de parámetros Y de la red completa no describe adecuadamente el parámetro Y de la red que se está modelando y contiene entradas extrañas si algunos nodos no tienen puertos.

Consideremos el caso de dos elementos concentrados de igual valor en serie, por ejemplo, dos resistencias de igual resistencia. Si ambas resistencias tienen una admitancia de${\textstyle Y_{R}}$y la cadena de la serie tiene una admisión de${\textstyle Y_{R}/2}$La matriz de admitancia completa que considera los tres nodos de la red se vería como se muestra a continuación, utilizando técnicas estándar de construcción de matrices de parámetros Y:

${\displaystyle Y_{FULL}={\begin{bmatrix}0&-Y_{R}&Y_{R}\\-Y_{R}&2Y_{R}&-Y_{R}\\Y_{R}&-Y_{R}&0\end{bmatrix}}}$

Sin embargo, se observa fácilmente que las dos resistencias en serie, cada una con una admitancia asignada de Y, tienen una admitancia neta de${\textstyle Y_{R}/2}$Y dado que las resistencias no permiten fugas de corriente a tierra, la red Y12 es igual y opuesta a YR11, es decir, YR12 = -YR11. La red de 2 puertos sin el nodo central se puede crear por simple inspección y se muestra a continuación:

${\displaystyle Y_{PORTS}={\begin{bmatrix}-Y_{R}/2&Y_{R}/2\\Y_{R}/2&-Y_{R}/2\end{bmatrix}}}$

Dado que la fila y la columna 2 de la${\textstyle Y_{FULL}}$La matriz debe eliminarse, podemos reescribirla.${\textstyle Y_{FULL}}$sin la fila 2 y la columna 2. Llamaremos a esta matriz reescrita${\textstyle Y'_{FULL}}$.

${\displaystyle Y'_{FULL}={\begin{bmatrix}0&Y_{R}\\Y_{R}&0\end{bmatrix}}}$

Ahora tenemos una base para crear la ecuación de traducción encontrando una ecuación que traduzca cada entrada en${\textstyle Y'_{FULL}}$a la entrada correspondiente en${\textstyle Y_{PUERTOS}}$:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\Rightarrow -Y_{R}/2&Y_{R}\Rightarrow Y_{R}/2\\Y_{R}\Rightarrow Y_{R}/2&0\Rightarrow -Y_{R}/2\end{bmatrix}}}$

Para cada una de las cuatro entradas, se puede observar que restar${\displaystyle Y_{R}/2}$El valor de la flecha izquierda realiza la traducción correctamente.${\displaystyle Y_{R}/2}$es idéntico a ${\displaystyle {Y_{R}}^{2}/(2Y_{R})}$, cada caso de${\textstyle Y'_{FULL}}$cumple la condición ${\displaystyle Y'_{ij}=Y_{ij}-Y_{ij}Y_{ji}/Y_{kk}}$mostrado en las ecuaciones generales de traslación.

El mismo proceso puede utilizarse para elementos de admitancia arbitraria (${\displaystyle Y_{11}\neq -Y_{12},Y_{ij}\neq Y_{ji}}$etc.) y redes de tamaño arbitrario, pero el álgebra se vuelve más compleja. El truco consiste en deducir o calcular una expresión que traduzca las entradas de la matriz original a las entradas de la matriz reducida.

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