Matrices de Krawtchouk

En matemáticas , las matrices de Krawtchouk son matrices cuyas entradas son valores de polinomios de Krawtchouk en puntos enteros no negativos. ^{[ 1 ] [ 2 ]} La matriz de Krawtchouk K ^{( N )} es una matriz de ( N + 1) × ( N + 1) . Las primeras matrices de Krawtchouk son:

${\displaystyle K^{(0)}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\qquad K^{(1)}=\left[{\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}}\right],\qquad K^{(2)}=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\2&0&-2\\1&-1&1\end{array}}\right],\qquad K^{(3)}=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\3&1&-1&-3\\3&-1&-1&3\\1&-1&1&-1\end{array}}\right],}$

${\displaystyle K^{(4)}=\left[{\begin{array}{rrrrr}1&1&1&1&1\\4&2&0&-2&-4\\6&0&-2&0&6\\4&-2&0&2&-4\\1&-1&1&-1&1\end{array}}\right],\qquad K^{(5)}=\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1&1\\5&3&1&-1&-3&-5\\10&2&-2&-2&2&10\\10&-2&-2&2&2&-10\\5&-3&1&1&-3&5\\1&-1&1&-1&1&-1\end{array}}\right].}$

En general, para enteros positivos${\displaystyle N}$, las entradas${\displaystyle K_{ij}^{(N)}}$vienen dadas por la función generadora :

${\displaystyle (1+v)^{Nj}\,(1-v)^{j}=\sum _ {i}v^{i}K_{ij}^{(N)},}$

donde los índices de fila y columna${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$huir de${\displaystyle 0}$a${\displaystyle N}$Explícitamente:

${\displaystyle K_{ij}^{(N)}=\sum _{k}(-1)^{k}{\binom {j}{k}}{\binom {N-j}{i-k}},}$

o en términos de los polinomios de Krawtchouk :

${\displaystyle K_{ij}^{(N)}=\kappa _{i}(j,N).}$

Los valores de una matriz de Krawchouk también se pueden calcular utilizando una relación de recurrencia. Al llenar la fila superior con unos y la columna más a la derecha con coeficientes binomiales alternos , las demás entradas se obtienen sumando las entradas vecinas a la parte superior, superior derecha y derecha. ^{[ 3 ]}

Los polinomios de Krawtchouk son ortogonales con respecto a las distribuciones binomiales simétricas,${\displaystyle p=1/2}$. ^{[ 4 ]}

Como transformación , una matriz de Krawtchouk es una involución salvo escalamiento:

${\displaystyle (K_{ij}^{(N)})^{2}=2^{N}I.}$

Las matrices de Krawchouk tienen una descomposición LDU que involucra matrices triangulares de Pascal y una matriz diagonal de potencias de 2. ^{[ 5 ]}

Los valores propios son${\displaystyle \pm {\sqrt {2^{n}}}}$y el determinante es${\displaystyle (-2)^{n(n+1)/2}}$. ^{[ 5 ]}

• polinomio de Krawtchouk
• Matriz de Pascal

• Enciclopedia Krawtchouk