Función de Koenig

En matemáticas , la función de Koenigs es una función que surge en el análisis complejo y los sistemas dinámicos . Introducida en 1884 por el matemático francés Gabriel Koenigs , proporciona una representación canónica como dilataciones de una aplicación holomorfa univalente , o un semigrupo de aplicaciones, del disco unitario en los números complejos en sí mismo.

Sea D el disco unitario en los números complejos. Sea f una función holomorfa que mapea D en sí mismo, fijando el punto 0, con f no idénticamente 0 y f no un automorfismo de D , es decir, una transformación de Möbius definida por una matriz en SU(1,1).

Por el teorema de Denjoy-Wolff , f deja invariante cada disco | z | < r y las iteraciones de f convergen uniformemente en compacto a 0: de hecho, para 0 < r < 1,

${\displaystyle |f(z)|\leq M(r)|z|}$

para | z | ≤ r con M ( r ) < 1. Además, f '(0) = λ con 0 < | λ | < 1.

Koenigs (1884) demostró que existe una única función holomorfa h definida en D , llamada función de Koenigs , tal que h (0) = 0, h '(0) = 1 y se satisface la ecuación de Schröder ,

${\displaystyle h(f(z))=f^{\prime }(0)h(z)~.}$

La función h es el límite uniforme en compactos de las iteraciones normalizadas , ${\displaystyle g_{n}(z)=\lambda ^{-n}f^{n}(z)}$.

Además, si f es univalente, también lo es h . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Como consecuencia, cuando f (y por lo tanto h ) son univalentes, D puede identificarse con el dominio abierto U = h ( D ) . Bajo esta identificación conforme, el mapeo f se convierte en una multiplicación por λ , una dilatación en U . 

Sea f _t ( z ) un semigrupo de aplicaciones univalentes holomorfas de D en sí mismo fijando 0 definido para t ∈ [0, ∞) tal que

• ${\displaystyle f_{s}}$no es un automorfismo para s > 0
• ${\displaystyle f_{s}(f_{t}(z))=f_{t+s}(z)}$
• ${\displaystyle f_{0}(z)=z}$
• ${\displaystyle f_{t}(z)}$es conjuntamente continua en t y z

Cada f _s con s > 0 tiene la misma función de Koenigs, cf. función iterada . De hecho, si h es la función de Koenigs de f = f ₁ , entonces h ( f _s ( z )) satisface la ecuación de Schroeder y por lo tanto es proporcional a h .

Tomar derivadas da como resultado

${\displaystyle h(f_{s}(z))=f_{s}^{\prime }(0)h(z).}$

Por lo tanto, h es la función de Koenigs de f _s .

En el dominio U = h ( D ) , las aplicaciones f _s se convierten en multiplicación por${\displaystyle \lambda (s)=f_{s}^{\prime }(0)}$, un semigrupo continuo. Entonces${\displaystyle \lambda (s)=e^{\mu s}}$donde μ es una solución determinada de forma única de e ^μ = λ con Re μ < 0. De ello se deduce que el semigrupo es diferenciable en 0. Sea

${\displaystyle v(z)=\partial _{t}f_{t}(z)|_{t=0},}$

una función holomorfa en D con v (0) = 0 y v' (0) = μ .

Entonces

${\displaystyle \partial _{t}(f_{t}(z))h^{\prime }(f_{t}(z))=\mu e^{\mu t}h(z)=\mu h(f_{t}(z)),}$

de modo que

${\displaystyle v=v^{\prime }(0){h \over h^{\prime }}}$

y

${\displaystyle \partial _{t}f_{t}(z)=v(f_{t}(z)),\,\,\,f_{t}(z)=0~,}$

la ecuación de flujo para un campo vectorial.

Restringiéndonos al caso con 0 < λ < 1, la h ( D ) debe ser estrellada de modo que

${\displaystyle \Re {zh^{\prime }(z) \over h(z)}\geq 0~.}$

Dado que el mismo resultado se cumple para el recíproco,

${\displaystyle \Re {v(z) \over z}\leq 0~,}$

de modo que v ( z ) satisface las condiciones de Berkson y Porta (1978)

${\displaystyle v(z)=zp(z),\,\,\,\Re p(z)\leq 0,\,\,\,p^{\prime }(0)<0.}$

Por el contrario, invirtiendo los pasos anteriores, cualquier campo vectorial holomorfo v ( z ) que satisfaga estas condiciones se asocia a un semigrupo f _t , con

${\displaystyle h(z)=z\exp \int _{0}^{z}{v^{\prime }(0) \over v(w)}-{1 \over w}\,dw.}$

• Berkson, E.; Porta, H. (1978), "Semigrupos de funciones analíticas y operadores de composición", Michigan Math. J. , 25 : 101– 115, doi : 10.1307/mmj/1029002009
• Carleson, L .; Gamelin, TDW (1993), Dinámica compleja , Universitext: Tratados de matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97942-5
• Elin, M.; Shoikhet, D. (2010), Modelos de linealización para sistemas dinámicos complejos: temas en funciones univalentes, ecuaciones funcionales y teoría de semigrupos , Operator Theory: Advances and Applications, vol.  208, Springer, ISBN 978-3034605083
• Koenigs, GPX (1884), "Recherches sur les integrales de sures équations fonctionnelles", Ann. Ciencia. Norma de la escuela. Sorber. , 1 : 2– 41
• Kuczma, Marek (1968). Ecuaciones funcionales en una sola variable . Monografía Matematyczne. Warszawa: PWN - Editores científicos polacos. ASIN: B0006BTAC2
• Shapiro, JH (1993), Operadores de composición y teoría clásica de funciones , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94067-7
• Shoikhet, D. (2001), Semigrupos en la teoría de funciones geométricas , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7111-9