Kalah

Kalah es una variante moderna de la antigua familia de juegos Mancala . El tablero de Kalah fue patentado y vendido por primera vez en Estados Unidos por William Julius Champion, Jr. en la década de 1950. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Este juego a veces también se llama "Kalahari", posiblemente por una etimología errónea del desierto de Kalahari en Namibia .

En la mayoría de sus variantes, Kalah es un juego resuelto en el que gana el primer jugador si ambos juegan partidas perfectas. La regla del pastel se puede usar para equilibrar la ventaja del primer jugador.

El juego incluye un tablero de Kalah y varias semillas o fichas. El tablero tiene seis pequeñas casillas, llamadas casas, a cada lado; y una casilla grande, llamada zona final o almacén, en cada extremo. El objetivo del juego es capturar más semillas que el oponente.

1. Al comienzo del juego, se colocan cuatro semillas en cada casa. Este es el método tradicional.
2. Cada jugador controla las seis casas y las semillas de su lado del tablero. La puntuación del jugador es el número de semillas que tiene en la tienda a su derecha.
3. Los jugadores se turnan para sembrar sus semillas. En su turno, el jugador retira todas las semillas de una de las casas que controla. Siguiendo en sentido contrario a las agujas del reloj, el jugador deposita una semilla en cada casa, incluyendo la suya propia, pero no la de su oponente.
4. Si la última semilla sembrada cae en una casa vacía propiedad del jugador, y la casa de enfrente contiene semillas, tanto la última semilla como las semillas de la casa de enfrente son capturadas y colocadas en la tienda del jugador.
5. Si la última semilla sembrada cae en la tienda del jugador, este obtiene un movimiento adicional. No hay límite en la cantidad de movimientos que un jugador puede realizar en su turno.
6. Cuando un jugador se queda sin semillas en ninguna de sus casas, el juego termina. El otro jugador traslada todas las semillas restantes a su almacén, y gana quien tenga más semillas en su almacén.

Es posible que el partido termine en empate.

Kalah se implementó en el PDP-1 a principios de la década de 1960, ^{[ 3 ]} y logró superar a jugadores humanos experimentados. ^{[ 4 ]} Desde entonces, ha habido innumerables implementaciones de Kalah para diversos sistemas, incluyendo MS-DOS ^{[ 5 ]} y el Nokia 3310. ^{[ 6 ]}

• El juego puede comenzar con un número de semillas en cada casa distinto de cuatro. Se ha desarrollado una nomenclatura para describir estas variaciones: Kalah( h , s ), donde h designa el número de casas en cada lado y s designa el número de semillas que comienzan en cada casa. En términos generales, cuantas más semillas, más desafiante es el juego. Se han resuelto versiones de Kalah con tres, cuatro, cinco y seis semillas, y el jugador inicial siempre gana con una jugada perfecta. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Por lo tanto, algunos sitios web han implementado el juego con la regla del pastel para hacerlo justo, o se le puede permitir al segundo jugador mover una semilla de cualquier casa a cualquier otra casa antes de que comience el juego, lo que resulta en 133 juegos diferentes.
• Una regla alternativa consiste en que los jugadores siembren en el sentido de las agujas del reloj, lo que requiere sembrar más piedras en un solo turno para llegar a la tienda.
• La variante "Captura de espacio vacío": Si la última semilla sembrada cae en una casa vacía propiedad del jugador, incluso si la casa opuesta está vacía, la última semilla es capturada y colocada en la tienda del jugador.
• Variante "Semilla activada": no hay capturas al terminar en una casa vacía. Cuando la última semilla cae en una casa no vacía a ambos lados del tablero, esa semilla y todas las semillas de esa casa se siembran. El turno solo termina cuando la última semilla cae en una casa vacía.
• Las reglas alternativas consisten en contar las semillas restantes al final del juego como parte de la puntuación del jugador que ha vaciado sus casas, o bien no contarlas en absoluto.

Como se mencionó anteriormente, si la última semilla sembrada por un jugador cae en su almacén, el jugador obtiene un movimiento extra. Un jugador astuto puede aprovechar esta regla para encadenar muchos turnos extra. Ciertas configuraciones de una fila del tablero pueden eliminarse de esta manera en un solo turno, es decir, el jugador puede capturar todas las piedras en su fila, como se muestra a la derecha. La cadena más larga posible de este tipo en un tablero estándar de Kalah de 6 pozos dura 17 movimientos. En un tablero general de n pozos, los patrones de semillas que pueden eliminarse en un solo turno de esta manera han sido objeto de estudio matemático. ^{[ 9 ]} Se puede demostrar que, para todo n , existe un único patrón eliminable en exactamente n movimientos, o equivalentemente, un único patrón eliminable que consta de exactamente n semillas.

Estos patrones requieren filas de hoyos arbitrariamente largas y n aumenta. Por ejemplo, se puede ver a la derecha que el patrón único de 5 semillas requiere solo 3 hoyos, pero el patrón de 17 semillas requiere 6 hoyos. La relación entre el número de hoyos requerido y el número de semillas se puede describir de la siguiente manera. Sea s ( n ) el número mínimo de semillas que requiere n hoyos para eliminarse. Entonces ${\displaystyle s(n)\sim {\frac {n^{2}}{\pi }},}$ donde el símbolo${\displaystyle \sim }$denota equivalencia asintótica , es decir,${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s(n)}{n^{2}/\pi }}=1}$, o equivalentemente,${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}}{s(n)}}=\pi }$. ^{[ 9 ]}

Mark Rawlings ha escrito un programa informático para analizar exhaustivamente tanto la versión "estándar" de Kalah como la versión de "captura vacía", que es la variante principal. El análisis fue posible gracias a la creación de la mayor base de datos de finales jamás realizada para Kalah. Esta incluye el resultado de juego perfecto de las 38.902.940.896 posiciones con 34 o menos semillas. En 2015, por primera vez, se cuantificaron los movimientos iniciales de las versiones estándar de Kalah(6,4) y Kalah(6,5): Kalah(6,4) es una victoria demostrada por 8 para el primer jugador y Kalah(6,5) es una victoria demostrada por 10 para el primer jugador. Además, se ha demostrado que Kalah(6,6) con las reglas estándar es al menos una victoria por 4. El análisis de Kalah(6,6) con las reglas estándar continúa en curso.

Para la versión de "captura vacía", Geoffrey Irving y Jeroen Donkers (2000) demostraron que Kalah(6,4) es una victoria por 10 para el primer jugador con juego perfecto, y Kalah(6,5) es una victoria por 12 para el primer jugador con juego perfecto. Anders Carstensen (2011) demostró que Kalah(6,6) era una victoria para el primer jugador. Mark Rawlings (2015) ha extendido estos resultados de "captura vacía" cuantificando completamente los movimientos iniciales para Kalah(6,4), Kalah(6,5) y Kalah(6,6). Con búsquedas que totalizaron 106 días y más de 55 billones de nodos, ha demostrado que Kalah(6,6) es una victoria por 2 para el primer jugador con juego perfecto. Este fue un resultado sorprendente, dado que las variaciones "4-semilla" y "5-semilla" son victorias por 10 y 12, respectivamente. Kalah(6,6) es extremadamente profundo y complejo en comparación con las variaciones de 4 semillas y 5 semillas, que ahora se pueden resolver en una fracción de segundo y en menos de un minuto, respectivamente.

Las bases de datos de finales creadas por Mark Rawlings se cargaron en la RAM durante la inicialización del programa (la carga tarda 17 minutos). Para que el programa pudiera ejecutarse en un ordenador con 32 GB de RAM, no se cargaron las bases de datos de 30 y 33 semillas.

Recuentos de la base de datos de final de juego: Recuento de posición de semillas Recuento acumulativo ------------------------------------------- 2-25 1.851.010.435 1.851.010.435 26 854 652 330 2 705 662 765 27 1.202.919.536 3.908.582.301 28 1.675.581.372 5.584.163.673 29 2.311.244.928 7.895.408.601 30 3.158.812.704 11.054.221.305 31 4.279.807.392 15.334.028.697 32 5.751.132.555 21.085.161.252 33 7.668.335.248 28.753.496.500 34 10.149.444.396 38.902.940.896 -------------------------------------------

En las siguientes secciones, los contenedores están numerados como se muestra, y el juego se desarrolla en sentido contrario a las agujas del reloj. El jugador del Sur se mueve de los contenedores 1 al 6 y el del Norte de los contenedores 8 al 13. El contenedor 14 es la tienda del jugador del Norte y el contenedor 7 es la del jugador del Sur.

 <--- Norte ------------------------ 13 12 11 10 9 8 14 7 1 2 3 4 5 6 ------------------------ Sur --->

 <--- Norte ------------------------ 4 4 4 4 4 4 0 0 4 4 4 4 4 4 ------------------------ Sur --->

Reglas estándar: resultado de movimiento juego perfecto continuación ------------------------------------------------------- 1 pierde por 14 10 13 3 9 13 12 1 13 11 5 13 2 pierden por 10 10 13 5 9 13 8 4 10 13 8 5 3-1 pierde por 6 10 11 2 13 1 12 1 13 9 4 12 Empate 3-2 10 13 5 9 13 8 3 11 1 13 10 3-4 victoria por 2 10 9 13 2 1 12 3 5 8 12 13 3-5 gana por 4 9 10 2 5 12 1 2 11 2 13 5 3-6 gana por 8 9 8 2 12 6 5 11 6 1 6 5 4 pierden por 2 10 12 2 4 13 1 5 9 13 12 13 5 pierden por 8 10 9 11 2 5 10 1 8 4 12 5 6 ganan por 4 9 12 2 6 1 11 4 10 6 5 13 -------------------------------------------------------

Variante "Captura vacía": resultado de movimiento juego perfecto continuación ------------------------------------------------------- 1 pierde por 14 10 13 4 9 13 11 2 13 8 13 10 2 pierden por 8 10 13 5 9 13 8 4 10 13 9 5 3-1 pierde por 8 10 11 4 9 12 2 10 5 11 12 9 3-2 pierde por 2 10 13 5 9 13 8 3 11 5 13 10 3-4 victoria por 2 10 9 13 2 1 12 3 5 8 12 13 3-5 victoria por 4 9 11 2 4 8 12 5 13 5 11 4 3-6 gana por 10 9 8 4 11 6 2 6 4 9 5 13 4 pierden por 2 10 12 2 5 9 8 12 9 4 10 11 5 pierden por 6 10 9 11 4 8 13 5 6 4 12 6 6 ganan por 4 9 12 2 6 1 11 4 10 6 5 13 -------------------------------------------------------

Posición inicial con 5 semillas en cada contenedor:

 <--- Norte ------------------------ 5 5 5 5 5 5 0 0 5 5 5 5 5 5 ------------------------ Sur --->

Reglas estándar: resultado de movimiento juego perfecto continuación ------------------------------------------------------- 1 pierde por 10 9 11 4 8 13 2 9 6 3 11 13 2-1 pierde por 4 9 10 2 12 1 11 3 12 8 11 1 2-3 gana por 10 10 1 6 9 5 13 6 2 8 4 13 2-4 gana por 10 8 11 1 6 9 2 13 11 4 12 6 2-5 gana por 8 8 10 1 6 9 5 13 12 2 13 11 2-6 empate 8 11 1 6 3 11 6 5 12 6 8 3 ganan por 2 9 8 12 1 4 11 2 12 10 4 3 4 gana por 2 8 11 1 5 12 3 10 5 2 11 6 5 ganan por 2 8 12 1 4 9 2 12 4 9 3 11 6 empate 8 12 1 6 4 10 6 2 11 4 3 -------------------------------------------------------

Variante "Captura vacía": resultado de movimiento juego perfecto continuación ------------------------------------------------------- 1 pierde por 10 9 12 6 8 12 11 2 8 6 5 12 2-1 pierde por 6 9 10 2 12 4 8 9 3 10 11 3 2-3 gana por 12 8 10 1 6 10 5 13 9 6 4 11 victoria 2-4 por 8 8 9 1 6 11 4 13 10 4 13 9 2-5 gana por 8 8 10 1 6 9 5 13 12 3 13 6 2-6 pierde por 2 8 11 1 6 5 9 6 3 11 12 5 3 ganan por 2 9 8 12 1 4 11 2 10 4 5 10 4 empate 8 11 1 5 12 3 9 5 2 11 3 5 empates 8 10 1 4 12 5 11 2 9 4 13 6 empate 8 12 1 6 4 9 6 2 12 6 5 -------------------------------------------------------

 <--- Norte ------------------------ 6 6 6 6 6 6 0 0 6 6 6 6 6 6 ------------------------ Sur --->

Variante "estándar": resultado del movimiento ------------------------------------------------------- Victoria comprobada por 1-2, por al menos 2. 1-3 victoria comprobada, por al menos 4 1-4 1-5 Pérdida comprobada de 1 a 6, de al menos 2 2 se encaminan hacia la victoria 3 4 5 6 pérdidas comprobadas, de al menos 2 ------------------------------------------------------- Los movimientos restantes (1-4, 1-5, 3, 4 y 5) son probables empates según búsquedas muy exhaustivas, sin embargo, el resultado aún no ha sido probado.

Variante "Captura vacía": resultado de movimiento juego perfecto continuación ------------------------------------------------------- 1-2 gana por 2 10 3 12 4 8 6 10 11 6 3... 1-3 gana por 2 11 1 8 2 10 6 8 3 11 5... 1-4 empate 10 3 12 5 10 3 9 1 12 3... 1-5 empate 9 4 8 3 10 2 10 4 1 9... 1-6 empate 10 4 9 6 3 11 6 8 2 10... 2 victorias por 2 12 4 10 1 12 8 1 11 3 9... 3 empates 10 5 12 4 11 1 12 8 4 3... 4 empate 10 3 11 1 9 5 11 2 10 8... 5 empate 10 3 11 4 12 2 11 4 10 5... 6 derrota por 2 10 3 8 6 4 13 1 10 13 8... -------------------------------------------------------

tiempo de movimiento (seg) nodos buscados ---------------------------------------- 1-2 305.791 2.214.209.715.560 1-3 403.744 2.872.262.354.066 1-4 401.349 2.335.350.353.288 1-5 317.795 1.886.991.523.192 1-6 392.923 2.313.607.567.702 2 1.692.886 9.910.945.999.186 3 1.296.141 7.398.319.653.760 4 1.411.091 9.623.816.064.478 5 1.607.514 9.318.824.643.697 6 1.354.845 7.824.794.014.305 ---------------------------------------- Total 9.184.079 55.699.121.889.234

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