teoría de perturbación k·p

Según la mecánica cuántica (en la aproximación de un solo electrón ), los electrones cuasi-libres en cualquier sólido se caracterizan por funciones de onda que son autoestados de la siguiente ecuación de Schrödinger estacionaria :

${\displaystyle \left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\psi =E\psi }$

donde p es el operador de momento cuántico , V es el potencial y m es la masa en el vacío del electrón. (Esta ecuación no tiene en cuenta el efecto de acoplamiento espín-órbita ; véase más adelante).

En un sólido cristalino , V es una función periódica , con la misma periodicidad que la red cristalina . El teorema de Bloch demuestra que las soluciones a esta ecuación diferencial se pueden escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle \psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

donde k es un vector (llamado vector de onda ), n es un índice discreto (llamado índice de banda ) y u _{n , k} es una función con la misma periodicidad que la red cristalina.

Para cualquier n dado , los estados asociados se denominan banda . En cada banda, existirá una relación entre el vector de onda k y la energía del estado E _{n , k} , denominada dispersión de banda . El cálculo de esta dispersión es una de las principales aplicaciones de la teoría de perturbaciones k · p .

La función periódica u _{n , k} satisface la siguiente ecuación de tipo Schrödinger (simplemente, una expansión directa de la ecuación de Schrödinger con una función de onda de tipo Bloch): ^{[ 1 ]}

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

donde el hamiltoniano es

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V}$

Nótese que k es un vector que consta de tres números reales con dimensiones de longitud inversa , mientras que p es un vector de operadores; para ser explícitos,

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}})+k_{y}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}})+k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}})}$

En cualquier caso, escribimos este hamiltoniano como la suma de dos términos:

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}}$

Esta expresión es la base de la teoría de perturbaciones . El "hamiltoniano no perturbado" es H ₀ , que de hecho es igual al hamiltoniano exacto en k  =  0 (es decir, en el punto gamma ). La "perturbación" es el término${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$El análisis resultante se denomina teoría de perturbación k·p , debido al término proporcional a k·p . El resultado de este análisis es una expresión para E _{n , k} y u _{n , k} en términos de las energías y funciones de onda en k  =  0.

Nótese que el término "perturbación"${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$se vuelve progresivamente más pequeño a medida que k se acerca a cero. Por lo tanto, la teoría de perturbación k·p es más precisa para valores pequeños de k . Sin embargo, si se incluyen suficientes términos en la expansión perturbativa , entonces la teoría puede ser razonablemente precisa para cualquier valor de k en toda la zona de Brillouin .

Para una banda no degenerada (es decir, una banda que tiene una energía diferente en k  =  0 a la de cualquier otra banda), con un extremo en k  =  0 y sin acoplamiento espín-órbita , el resultado de la teoría de perturbación k · p es (al orden no trivial más bajo ): ^{[ 1 ]}

${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n',0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n,0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}}$

${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _ {n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}}$

Dado que k es un vector de números reales (en lugar de un vector de operadores lineales más complejos), el elemento de matriz en estas expresiones se puede reescribir como:

${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle =\mathbf {k} \cdot \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$

Por lo tanto, se puede calcular la energía en cualquier k usando solo unos pocos parámetros desconocidos, a saber, E _{n ,0} y${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$Estos últimos se denominan "elementos de matriz óptica" y están estrechamente relacionados con los momentos dipolares de transición . Estos parámetros se suelen inferir a partir de datos experimentales.

En la práctica, la suma sobre n suele incluir solo las bandas más cercanas, ya que tienden a ser las más importantes (debido al denominador). Sin embargo, para una mayor precisión, especialmente para valores grandes de k , se deben incluir más bandas, así como más términos en el desarrollo perturbativo que los mencionados anteriormente.

Incluyendo la interacción espín-órbita , la ecuación de Schrödinger para u es: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

donde ^{[ 7 ]}

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}}$

dónde${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$es un vector formado por las tres matrices de Pauli . Este hamiltoniano puede someterse al mismo tipo de análisis de teoría de perturbaciones que el anterior.

Para bandas degeneradas o casi degeneradas, en particular las bandas de valencia en ciertos materiales como el arseniuro de galio , las ecuaciones pueden analizarse mediante los métodos de la teoría de perturbación degenerada . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Los modelos de este tipo incluyen el " modelo de Luttinger-Kohn " (también conocido como "modelo de Kohn-Luttinger"), ^{[ 8 ]} y el " modelo de Kane ". ^{[ 7 ]}

En general, un hamiltoniano efectivo${\displaystyle H^{\rm {eff}}}$Se introduce y, en primera aproximación, sus elementos matriciales pueden expresarse como

${\displaystyle H_{\mathbf {k} ,mn}^{\rm {eff}}=\langle u_{m,0}|H_{0}|u_{n,0}\rangle +\mathbf {k} \cdot \langle u_{m,0}|\nabla _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }'|u_{n,0}\rangle }$

Tras resolverlo, se obtienen las funciones de onda y las bandas de energía.