Secuencia del malabarista

En teoría de números , una secuencia de malabarista es una secuencia de enteros que comienza con un entero positivo a ₀ , y cada término subsiguiente de la secuencia se define mediante la relación de recurrencia : $${\displaystyle a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,&{\text{si }}a_{k}{\text{ es par}}\\\\\left\lfloor a_{k}^{\frac {3}{2}}\right\rfloor ,&{\text{si }}a_{k}{\text{ es impar}}.\end{cases}}}$$

Las secuencias de malabaristas fueron divulgadas por el matemático y autor estadounidense Clifford A. Pickover . ^{[ 1 ]} El nombre deriva de la naturaleza ascendente y descendente de las secuencias, como pelotas en las manos de un malabarista . ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, la secuencia del malabarista que comienza con ₀ = 3 es

${\displaystyle a_{1}=\lfloor 3^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 5.196\dots \rfloor =5,}$

${\displaystyle a_{2}=\lfloor 5^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 11.180\dots \rfloor =11,}$

${\displaystyle a_{3}=\lfloor 11^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 36.482\dots \rfloor =36,}$

${\displaystyle a_{4}=\lfloor 36^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6,}$

${\displaystyle a_{5}=\lfloor 6^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 2.449\dots \rfloor =2,}$

${\displaystyle a_{6}=\lfloor 2^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1.414\dots \rfloor =1.}$

Si una secuencia de malabaristas llega a 1, entonces todos los términos subsiguientes son iguales a 1. Se conjetura que todas las secuencias de malabaristas eventualmente llegan a 1. Esta conjetura se ha verificado para todos los términos iniciales hasta 7110200, de modo que 7110201 es el primer número que carece de verificación, pero no se ha probado ni refutado. ^{[ 3 ]}

Para un término inicial n dado , se define l ( n ) como el número de pasos que la secuencia del malabarista que comienza en n tarda en llegar a 1 por primera vez, y h ( n ) como el valor máximo en la secuencia del malabarista que comienza en n . Para valores pequeños de n tenemos:

Las secuencias de malabaristas pueden alcanzar valores muy grandes antes de descender a 1. Por ejemplo, la secuencia de malabaristas que comienza en 0 ₌ 37 alcanza un valor máximo de 24906114455136. Harry J. Smith ha determinado que la secuencia de malabaristas que comienza en ⁰ = ₄₈₄₄₃ alcanza un valor máximo en 60 _con 972.463 dígitos, antes de llegar a 1 _en 157. ^[ 4 ^]

• Dinámica aritmética
• Conjetura de Collatz
• Relación de recurrencia

• Weisstein, Eric W. "Secuencia del malabarista" . MathWorld .
• Secuencia Juggler (A094683) en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Véase también:
  • Número de pasos necesarios para la secuencia del malabarista (A094683) que comenzó en n para llegar a 1.
  • n establece un nuevo récord en cuanto al número de iteraciones necesarias para llegar a 1 en el problema de la secuencia del malabarista.
  • Número de pasos en los que la secuencia del Malabarista alcanza un nuevo récord.
  • El número más pequeño que requiere n iteraciones para llegar a 1 en el problema de la secuencia del malabarista.
  • Valores iniciales que producen un número de malabarista mayor que los valores iniciales más pequeños.
• Calculadora de secuencias de malabaristas en el Centro de Cálculo de Conjeturas de Collatz
• Páginas del número del malabarista por Harry J. Smith