Transformación de rayos X

En matemáticas , la transformada de rayos X (también llamada transformada de rayos ^[1] o transformada de John ) es una transformada integral introducida por Fritz John en 1938 ^[2] que es una de las piedras angulares de la geometría integral moderna . Está muy relacionada con la transformada de Radon , y coincide con ella en dos dimensiones. En dimensiones superiores, la transformada de rayos X de una función se define integrando sobre líneas en lugar de sobre hiperplanos como en la transformada de Radon. La transformada de rayos X deriva su nombre de la tomografía de rayos X (utilizada en tomografías computarizadas ) porque la transformada de rayos X de una función ƒ representa los datos de atenuación de una exploración tomográfica a través de un medio no homogéneo cuya densidad está representada por la función ƒ . Por lo tanto, la inversión de la transformada de rayos X es de importancia práctica porque permite reconstruir una densidad desconocida ƒ a partir de sus datos de atenuación conocidos.

En detalle, si ƒ es una función continua con soporte compacto en el espacio euclidiano R ⁿ , entonces la transformada de rayos X de ƒ es la función Xƒ definida en el conjunto de todas las líneas en R ⁿ por

${\displaystyle Xf(L)=\int _{L}f=\int _{\mathbf {R} }f(x_{0}+t\theta )dt}$

donde x ₀ es un punto inicial en la línea y θ es un vector unitario en R ⁿ que da la dirección de la línea L . La última integral no se considera en el sentido orientado: es la integral con respecto a la medida de Lebesgue unidimensional en la línea euclidiana L .

La transformada de rayos X satisface una ecuación de onda ultrahiperbólica llamada ecuación de John .

La función hipergeométrica gaussiana o ordinaria se puede escribir como una transformada de rayos X. (Gelfand, Gindikin y Graev 2003, 2.1.2).

• Berenstein, Carlos A. (2001) [1994], "Transformación de rayos X", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Gelfand, IM; Gindikin, SG; Graev, MI (2003) [2000], Temas seleccionados en geometría integral, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 220, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2932-5, Sr.  2000133
• Helgason, Sigurdur (2008), Análisis geométrico en espacios simétricos , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 39 (2.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4530-1, Sr.  2463854
• Helgason, Sigurdur (1999), La transformada del radón (PDF) , Progreso en matemáticas (2.ª ed.), Boston, MA: Birkhauser