Número de Jacobsthal

En matemáticas , los números de Jacobsthal son una sucesión de enteros que recibe su nombre del matemático alemán Ernst Jacobsthal . Al igual que los números de Fibonacci , son un tipo específico de sucesión de Lucas.${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$para los cuales P  = 1 y Q  = − 2 ^{[ 1 ]} —y se definen mediante una relación de recurrencia similar : en términos sencillos, la secuencia comienza con 0 y 1, luego cada número siguiente se obtiene sumando el número anterior al doble del número anterior a ese. Los primeros números de Jacobsthal son: 

0 , 1 , 1, 3 , 5 , 11 , 21 , 43 , 85 , 171 , 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, … (secuencia A001045 en el OEIS )

Un número primo de Jacobsthal es un número de Jacobsthal que también es primo . Los primeros números primos de Jacobsthal son:

3, 5, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, 845100400152152934331135470251, 56713727820156410577229101238628035243, … (secuencia A049883 en el OEIS )

Los números de Jacobsthal se definen mediante la relación de recurrencia:

${\displaystyle J_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

El siguiente número de Jacobsthal también viene dado por la fórmula de recursión.

${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n},}$

o por

${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}.}$

La segunda fórmula de recurrencia anterior también se satisface con las potencias de 2 .

El número de Jacobsthal en un punto específico de la secuencia se puede calcular directamente utilizando la ecuación de forma cerrada: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.}$

La función generadora de los números de Jacobsthal es

${\displaystyle {\frac {x}{(1+x)(1-2x)}}.}$

La suma de los recíprocos de los números de Jacobsthal es aproximadamente 2,7186, ligeramente mayor que e .

Los números de Jacobsthal se pueden extender a índices negativos utilizando la relación de recurrencia o la fórmula explícita, dando como resultado:

${\displaystyle J_{-n}=(-1)^{n+1}J_{n}/2^{n}}$(véase OEIS : A077925  )

Las siguientes identidades se encuentran

${\displaystyle 2^{n}(J_{-n}+J_{n})=3J_{n}^{2}}$(véase OEIS : A139818  )

${\displaystyle J_{n}=F_{n}+\sum _{i=0}^{n-2}J_{i}F_{n-i-1}}$dónde${\displaystyle F_{n}}$es el enésimo número de Fibonacci.

Los números de Jacobsthal-Lucas representan la secuencia complementaria de Lucas.${\displaystyle V_{n}(1,-2)}$Satisfacen la misma relación de recurrencia que los números de Jacobsthal, pero tienen valores iniciales diferentes:

${\displaystyle j_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

El siguiente número de Jacobsthal-Lucas también satisface: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.\,}$

El número de Jacobsthal-Lucas en un punto específico de la secuencia se puede calcular directamente utilizando la ecuación de forma cerrada: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.\,}$

Los primeros números de Jacobsthal-Lucas son:

2 , 1 , 5 , 7 , 17 , 31 , 65 , 127 , 257 , 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537 , 131071, 262145, 524287, 1048577, … (secuencia A014551 en el OEIS ) .

Los primeros números oblongos de Jacobsthal son: 0, 1, 3, 15, 55, 231, 903, 3655, 14535, 58311, … (secuencia A084175 en el OEIS )

${\displaystyle Jo_{n}=J_{n}J_{n+1}}$