Coordenadas de Jacobi

En la teoría de sistemas de muchas partículas, las coordenadas de Jacobi se utilizan a menudo para simplificar la formulación matemática. Estas coordenadas son particularmente comunes en el tratamiento de moléculas poliatómicas y reacciones químicas , ^[3] y en mecánica celeste . ^[4] Un algoritmo para generar las coordenadas de Jacobi para N cuerpos puede basarse en árboles binarios . ^[5] En palabras, el algoritmo se describe de la siguiente manera: ^[5]

Sean m _j y m _k las masas de dos cuerpos que se reemplazan por un nuevo cuerpo de masa virtual M = m _j + m _k . Las coordenadas de posición x _j y x _k se reemplazan por su posición relativa r _jk = x _j  −  x _k y por el vector a su centro de masas R _jk = ( m _j q _j + m _k q _k )/( m _j + m _k ). El nodo en el árbol binario correspondiente al cuerpo virtual tiene m _j como su hijo derecho y m _k como su hijo izquierdo. El orden de los hijos indica los puntos de coordenadas relativas de x _k a x _j . Repita el paso anterior para N  − 1 cuerpos, es decir, los N  − 2 cuerpos originales más el nuevo cuerpo virtual.

Para el problema de N cuerpos el resultado es: ^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{j}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ -\ {\boldsymbol {x}}_{j+1}\ ,\quad j\in \{1,2,\dots ,N-1\}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}={\frac {1}{m_{0N}}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ ,}$

con

${\displaystyle m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .}$

El vector es el centro de masa de todos los cuerpos y es la coordenada relativa entre las partículas 1 y 2: ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1}}$

El resultado que se obtiene es entonces un sistema de N -1 coordenadas invariantes traslacionales y una coordenada de centro de masa , a partir de la reducción iterativa de sistemas de dos cuerpos dentro del sistema de muchos cuerpos. ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$

Este cambio de coordenadas tiene asociado un jacobiano igual a . ${\displaystyle 1}$

Si uno está interesado en evaluar un operador de energía libre en estas coordenadas, obtiene

${\displaystyle H_{0}=-\sum _{j=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\,\partial _{{\boldsymbol {x}}_{j}}^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0N}}}\,\partial _{{\boldsymbol {r}}_{N}}^{2}\!-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\!\left({\frac {1}{m_{j+1}}}+{\frac {1}{m_{0j}}}\right)\partial _{{\boldsymbol {r}}_{j}}^{2}}$

En los cálculos puede ser útil la siguiente identidad

${\displaystyle \sum _{k=j+1}^{N}{\frac {m_{k}}{m_{0k}m_{0k-1}}}={\frac {1}{m_{0j}}}-{\frac {1}{m_{0N}}}}$.