Mapas de decisión interactivos

La técnica de Mapas de Decisión Interactivos (IDM) para la optimización multiobjetivo se basa en la aproximación de la Envolvente de Edgeworth -Pareto (EPH) del conjunto de objetivos factibles, es decir, el conjunto de objetivos factibles ampliado por los puntos de objetivo dominados por él. Alternativamente, este conjunto se conoce como Envolvente de Libre Disposición . Es importante que la EPH tenga el mismo frente de Pareto que el conjunto de objetivos factibles, pero las secciones biobjetivo de la EPH parezcan mucho más simples. Las fronteras de las secciones biobjetivo de la EPH contienen las secciones del frente de Pareto. Es importante destacar que, a diferencia del propio frente de Pareto, la EPH suele ser estable con respecto a perturbaciones en los datos. La técnica IDM aplica una visualización rápida en línea de las secciones biobjetivo de la EPH aproximadas de antemano.

Dado que las secciones biobjetivo del EPH para dos objetivos seleccionados se extienden (o se contraen) monótonamente, mientras que el valor de uno de los otros objetivos (el "tercer" objetivo) cambia monótonamente, las fronteras de las secciones del EPH para las que solo cambia el valor del "tercer" objetivo no se intersecan. Por eso, una figura con secciones biobjetivo superpuestas del EPH se asemeja a un mapa topográfico ordinario y también se denomina mapa de decisión. Para estudiar la influencia de los demás objetivos (cuarto, quinto, etc.), se puede utilizar la animación de los mapas de decisión. Dicha animación es posible gracias a la aproximación previa del EPH. Alternativamente, se pueden estudiar diversas colecciones de instantáneas de la animación. Los ordenadores pueden visualizar el frente de Pareto en forma de mapas de decisión para problemas de decisión lineales y no lineales con entre tres y ocho objetivos. Las redes informáticas pueden proporcionar, por ejemplo, applets de Java que muestran gráficos de los frentes de Pareto a petición. Las aplicaciones prácticas de la técnica IDM se describen en ^{[ 1 ] .}

La figura anterior representa una copia en escala de grises de una pantalla de ordenador a color para un problema real de calidad del agua ^{[ 1 ]} que involucra cinco objetivos. El mapa de decisiones consta de cuatro secciones superpuestas con dos objetivos y colores diferentes. Una paleta muestra la relación entre los valores del tercer objetivo y los colores. Dos barras de desplazamiento están relacionadas con los valores del cuarto y el quinto objetivo.

Al mover una barra de desplazamiento, se modifica el mapa de decisiones. Si bien es posible mover el control deslizante manualmente, la forma más eficaz de presentar información al responsable de la toma de decisiones se basa en el movimiento automático del control deslizante, es decir, en un incremento (o decremento) gradual de la restricción impuesta al valor de un objetivo. La rápida actualización de los mapas de decisiones genera un efecto de animación. Dado que se puede colocar cualquier número razonable de barras de desplazamiento en la pantalla, se puede explorar la influencia del cuarto, el quinto (e incluso el sexto y el séptimo, etc.) objetivo en el mapa de decisiones.

El EPH debe aproximarse en la técnica IDM antes de que se muestren los mapas de decisión. Los métodos para aproximar el EPH dependen de sus propiedades de convexidad. Los métodos de aproximación suelen basarse en la aproximación del EPH mediante un conjunto poliédrico convexo o mediante un número grande pero finito de conos de dominación en el espacio objetivo con vértices cercanos al frente de Pareto. La primera forma solo se puede aplicar a problemas convexos, mientras que la segunda es universal y se puede utilizar en problemas no lineales generales. ^{[ 1 ]}

La EPH aproximada por un conjunto poliédrico se describe mediante un sistema de un número finito de desigualdades lineales , que deben construirse mediante la técnica de aproximación. La teoría matemática de la aproximación poliédrica óptima de cuerpos convexos se desarrolló recientemente, y sus resultados pueden aplicarse para desarrollar métodos eficaces para aproximar la EPH. ^{[ 1 ]} Un gran número de secciones biobjetivo de dichas aproximaciones pueden calcularse y mostrarse en forma de mapa de decisión en cuestión de segundos.

Una aproximación EPH mediante un número grande pero finito de conos de dominación puede construirse a partir de cualquier aproximación puntual del frente de Pareto , que puede obtenerse utilizando una amplia gama de técnicas, desde métodos clásicos de optimización monoobjetivo ^{[ 2 ] [ 3 ]} hasta métodos evolutivos modernos ^{[ 4 ].} También pueden utilizarse métodos híbridos para aproximar la EPH basados ​​en la combinación de métodos clásicos y evolutivos ^{[ 5 ]} . Las secciones biobjetivo de dicha aproximación también pueden calcularse muy rápidamente. La aplicación de estos métodos da como resultado mapas de decisión que resultan bastante comprensibles si el número de puntos de aproximación es suficientemente grande.

En la técnica IDM, la búsqueda de la decisión preferida se basa en la identificación de un punto objetivo óptimo de Pareto (meta factible). Los mapas de decisión ayudan al usuario a identificar la meta directamente en una curva de compensación dibujada en la pantalla del ordenador. A continuación, se encuentra automáticamente una decisión óptima de Pareto asociada a la meta. En el artículo «Visualizing the Pareto Frontier» (Lotov y Miettinen, 2008) se ofrece un análisis detallado de los problemas de visualización del frente de Pareto .

• Análisis de decisiones multicriterio