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En economía , una utilidad cardinal expresa no solo cuál de dos resultados se prefiere, sino también la intensidad de las preferencias , es decir, cuánto mejor o peor es un resu...

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En economía , una utilidad cardinal expresa no solo cuál de dos resultados se prefiere, sino también la intensidad de las preferencias , es decir, cuánto mejor o peor es un resultado en comparación con otro. [ 1 ]

En la teoría de la elección del consumidor , los economistas intentaron inicialmente reemplazar la utilidad cardinal con el concepto aparentemente más débil de utilidad ordinal . La utilidad cardinal parece imponer el supuesto de que existen niveles de satisfacción absoluta , de modo que las magnitudes de los incrementos en la satisfacción pueden compararse en diferentes situaciones. Sin embargo, en la década de 1940, los economistas demostraron que, bajo ciertas condiciones, las utilidades ordinales implican utilidades cardinales. Este resultado se conoce actualmente como el teorema de utilidad de von Neumann-Morgenstern ; existen muchos teoremas de representación de utilidad similares en otros contextos.

Historia

En 1738, Daniel Bernoulli fue el primero en teorizar sobre el valor marginal del dinero. Partió de la premisa de que el valor de una cantidad adicional es inversamente proporcional a las posesiones pecuniarias que una persona ya posee. Dado que Bernoulli asumió tácitamente que se puede descubrir una medida interpersonal de la reacción de utilidad de diferentes personas, estaba utilizando, sin darse cuenta, una concepción temprana de cardinalidad. [ 2 ]

La función de utilidad logarítmica imaginaria de Bernoulli y la función U  = W 1/2  de Gabriel Cramer fueron concebidas en su momento no para una teoría de la demanda, sino para resolver el juego de San  Petersburgo . Bernoulli asumió que "un hombre pobre generalmente obtiene más utilidad que un hombre rico de una ganancia igual" [ 3 ], un enfoque que es más profundo que la simple expectativa matemática del dinero, ya que implica una ley de expectativa moral .

Los primeros teóricos de la utilidad consideraban que esta poseía atributos físicamente cuantificables. Pensaban que la utilidad se comportaba como las magnitudes de distancia o tiempo, en las que el simple uso de una regla o un cronómetro resultaba en una medida distinguible. "Utils" era el nombre que se daba a las unidades de una escala de utilidad.

En la época victoriana, muchos aspectos de la vida sucumbían a la cuantificación. [ 4 ] La teoría de la utilidad pronto comenzó a aplicarse a las discusiones de filosofía moral. La idea esencial del utilitarismo es juzgar las decisiones de las personas observando su cambio en las utilidades y medir si están mejor. El principal precursor de los principios utilitaristas desde finales del siglo XVIII fue Jeremy Bentham , quien creía que la utilidad podía medirse mediante un examen introspectivo complejo y que debía guiar el diseño de políticas y leyes sociales. Para Bentham, una escala de placer tiene como unidad de intensidad "el grado de intensidad que posee aquel placer que es el más débil de todos los que pueden distinguirse como placer"; [ 5 ] también afirmó que, a medida que estos placeres aumentan en intensidad, se podrían representar con números cada vez mayores. [ 5 ] En los siglos XVIII y XIX, la mensurabilidad de la utilidad recibió mucha atención de las escuelas europeas de economía política, sobre todo a través del trabajo de los marginalistas (por ejemplo, William Stanley Jevons , [ 6 ] Léon Walras , Alfred Marshall ). Sin embargo, ninguno de ellos ofreció argumentos sólidos para apoyar el supuesto de mensurabilidad. En el caso de Jevons, añadió a las ediciones posteriores de su obra una nota sobre la dificultad de estimar la utilidad con precisión. [ 5 ] Walras también luchó durante muchos años antes de poder siquiera intentar formalizar el supuesto de mensurabilidad. [ 7 ] Marshall fue ambiguo sobre la mensurabilidad del hedonismo porque se adhirió a sus propiedades psicológico-hedonistas, pero también argumentó que era "poco realista" hacerlo. [ 8 ]

Los defensores de la teoría de la utilidad cardinal en el siglo XIX sugirieron que los precios de mercado reflejan la utilidad, aunque no profundizaron en su compatibilidad (es decir, que los precios son objetivos mientras que la utilidad es subjetiva). Medir con precisión el placer (o el dolor ) subjetivo parecía complicado, como seguramente sabían los pensadores de la época. Renombraron la utilidad con términos imaginativos como riqueza subjetiva , felicidad general , valor moral , satisfacción psíquica u ophélimité . Durante la segunda mitad del siglo XIX se realizaron numerosos estudios relacionados con esta magnitud ficticia —la utilidad— , pero la conclusión siempre fue la misma: resultó imposible determinar con certeza si un bien vale 50, 75 o 125 utils para una persona, o para dos personas diferentes. Además, la mera dependencia de la utilidad de las nociones de hedonismo llevó a los círculos académicos a mostrarse escépticos ante esta teoría. [ 9 ]

Francis Edgeworth también era consciente de la necesidad de fundamentar la teoría de la utilidad en el mundo real. Analizó las estimaciones cuantitativas que una persona puede hacer de su propio placer o del placer ajeno, tomando prestados métodos desarrollados en psicología para estudiar la medición hedónica: la psicofísica . Este campo de la psicología se construyó sobre el trabajo de Ernst H. Weber , pero hacia la época de la Primera Guerra Mundial, los psicólogos comenzaron a desanimarse. [ 10 ] [ 11 ]

A finales del siglo XIX, Carl Menger y sus seguidores de la escuela austriaca de economía emprendieron la primera ruptura exitosa con la utilidad mensurable, mediante la ingeniosa creación de una teoría de usos jerarquizados. A pesar de abandonar la idea de la utilidad cuantificable (es decir, la satisfacción psicológica plasmada en el conjunto de números reales), Menger logró establecer un conjunto de hipótesis sobre la toma de decisiones, basándose únicamente en unos pocos axiomas de preferencias jerarquizadas sobre los posibles usos de bienes y servicios. Sus ejemplos numéricos son «ilustrativos de relaciones ordinales, no cardinales». [ 12 ]

Sin embargo, existen otras interpretaciones de la obra de Carl Menger. Ivan Moscati y J. Huston McCulloch sostienen que Menger fue un cardinalista clásico, ya que sus ejemplos numéricos no son meramente ilustrativos, sino que representan proporciones aritméticas explícitas de valor entre bienes económicos. [ 13 ] [ 14 ] Las proporciones, sumas y multiplicaciones aritméticas son inherentemente cardinales y no existen en un paradigma ordinal. Menger también afirma explícitamente lo siguiente: «Solo la satisfacción de nuestras necesidades tiene un significado directo e inmediato para nosotros. En cada caso concreto, este significado se mide por la importancia de las diversas satisfacciones para nuestras vidas y bienestar. A continuación, atribuimos la magnitud cuantitativa exacta de esta importancia a los bienes específicos de los que somos conscientes de depender directamente para las satisfacciones en cuestión». [ 15 ]

Hacia el cambio de siglo XIX, los economistas neoclásicos comenzaron a adoptar formas alternativas de abordar el problema de la mensurabilidad. Hacia 1900, Pareto dudaba en medir con precisión el placer o el dolor porque pensaba que una magnitud subjetiva autoinformada carecía de validez científica. Quería encontrar una forma alternativa de tratar la utilidad que no dependiera de percepciones erráticas de los sentidos. [ 16 ] La principal contribución de Pareto a la utilidad ordinal fue suponer que las curvas de indiferencia más altas tienen mayor utilidad, pero no es necesario especificar cuánto mayor para obtener el resultado de tasas marginales de sustitución crecientes.

Las obras y manuales de Vilfredo Pareto, Francis Edgeworth, Irving Fischer y Eugene Slutsky se apartaron de la utilidad cardinal y sirvieron de punto de partida para que otros continuaran la tendencia de la ordinalidad. Según Viner, [ 17 ] estos pensadores económicos desarrollaron una teoría que explicaba las pendientes negativas de las curvas de demanda. Su método evitó la mensurabilidad de la utilidad mediante la construcción de un mapa abstracto de curvas de indiferencia .

Durante las tres primeras décadas del siglo XX, economistas de Italia y Rusia se familiarizaron con la idea de Paret de que la utilidad no necesita ser cardinal. Según Schultz, [ 18 ] en 1931 la idea de utilidad ordinal aún no había sido adoptada por los economistas estadounidenses. El avance se produjo cuando John Hicks y Roy Allen elaboraron una teoría de la utilidad ordinal en 1934. [ 19 ] De hecho, las páginas 54-55 de este artículo contienen el primer uso del término "utilidad cardinal". [ 20 ] Sin embargo, el primer tratamiento de una clase de funciones de utilidad preservadas por transformaciones afines fue realizado en 1934 por Oskar Lange. [ 21 ]

En 1944, Frank Knight argumentó extensamente a favor de la utilidad cardinal. En la década de 1960, Parducci estudió los juicios humanos sobre magnitudes y propuso una teoría de rango-frecuencia. [ 22 ] Desde finales del siglo XX, los economistas han mostrado un renovado interés en las cuestiones de medición de la felicidad . [ 23 ] [ 24 ] Este campo ha estado desarrollando métodos, encuestas e índices para medir la felicidad.

Se pueden derivar varias propiedades de las funciones de utilidad cardinales utilizando herramientas de la teoría de la medida y la teoría de conjuntos .

Mensurabilidad

Se considera que una función de utilidad es medible si la fuerza de la preferencia o la intensidad del agrado por un bien o servicio se determina con precisión mediante el uso de algún criterio objetivo. Por ejemplo, supongamos que comer una manzana le proporciona a una persona exactamente la mitad del placer que le produce comer una naranja. Esta sería una utilidad medible si y solo si la prueba empleada para su medición directa se basa en un criterio objetivo que permita a cualquier observador externo repetir los resultados con exactitud. [ 25 ] Una forma hipotética de lograr esto sería mediante el uso de un hedonómetro , instrumento sugerido por Edgeworth para registrar el grado de placer experimentado por las personas, que diverge según una ley de errores. [ 10 ]

Antes de la década de 1930, los economistas denominaban erróneamente cardinalidad a la mensurabilidad de las funciones de utilidad. Otros economistas, siguiendo la formulación de Hicks-Allen, utilizaban un significado diferente de cardinalidad, según el cual dos funciones de utilidad cardinales se consideran iguales si conservan de forma única los ordenamientos de preferencias salvo transformaciones afines positivas . [ 26 ] [ 27 ] Hacia finales de la década de 1940, algunos economistas incluso se apresuraron a argumentar que la axiomatización de la utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern había resucitado la mensurabilidad. [ 16 ]

La confusión entre cardinalidad y mensurabilidad no se resolvió hasta los trabajos de Armen Alchian , [ 28 ] William Baumol, [ 29 ] y John Chipman. [ 30 ] El título del artículo de Baumol, "La utilidad cardinal que es ordinal", expresó bien el caos semántico de la literatura de la época.

Resulta útil considerar el mismo problema tal como aparece en la construcción de escalas de medición en las ciencias naturales. [ 31 ] En el caso de la temperatura, existen dos grados de libertad para su medición : la elección de la unidad y el cero. Las diferentes escalas de temperatura representan su intensidad de distintas maneras. En la escala Celsius, el cero se elige como el punto donde el agua se congela, y de igual modo, en la teoría de la utilidad cardinal, uno se vería tentado a pensar que la elección del cero correspondería a un bien o servicio que produce exactamente 0 utilidades. Sin embargo, esto no es necesariamente cierto. El índice matemático permanece cardinal, incluso si el cero se mueve arbitrariamente a otro punto, o si se cambia la elección de la escala, o si se cambian tanto la escala como el cero. Toda entidad mensurable se corresponde con una función cardinal, pero no toda función cardinal es el resultado de la correspondencia de una entidad mensurable. El objetivo de este ejemplo era demostrar que (al igual que con la temperatura) todavía es posible predecir algo sobre la combinación de dos valores de alguna función de utilidad, incluso si las utilidades se transforman en números completamente diferentes, siempre que siga siendo una transformación lineal. 

Von Neumann y Morgenstern afirmaron que la cuestión de la mensurabilidad de las magnitudes físicas era dinámica. Por ejemplo, la temperatura era originalmente un número salvo una transformación monótona, pero el desarrollo de la termometría de gases ideales condujo a transformaciones en las que faltaban el cero absoluto y la unidad absoluta. Los desarrollos posteriores de la termodinámica incluso fijaron el cero absoluto, de modo que el sistema de transformaciones en termodinámica consiste únicamente en la multiplicación por constantes. Según Von Neumann y Morgenstern (1944, p.  23), «En cuanto a su utilidad, la situación parece ser de naturaleza similar [a la de la temperatura]».

La siguiente cita de Alchian sirvió para aclarar de una vez por todas la verdadera naturaleza de las funciones de utilidad:

¿Podemos asignar un conjunto de números (medidas) a las distintas entidades y predecir que se elegirá la entidad con el mayor número (medida) asignado? De ser así, podríamos denominar a esta medida "utilidad" y afirmar que las decisiones se toman para maximizarla. Es fácil llegar a la afirmación de que "estás maximizando tu utilidad", lo cual simplemente significa que tu elección es predecible según el valor de ciertos números asignados. Para mayor comodidad analítica, se suele postular que un individuo busca maximizar algo sujeto a ciertas restricciones. Aquello —o medida numérica de ese "algo" — que busca maximizar se denomina "utilidad". Que la utilidad sea, en este caso, algún tipo de brillo, calidez o felicidad, es irrelevante; lo único que importa es que podemos asignar números a entidades o condiciones que una persona puede esforzarse por alcanzar. Entonces decimos que el individuo busca maximizar alguna función de esos números. Desafortunadamente, el término "utilidad" ha adquirido tantas connotaciones que resulta difícil comprender que, para los fines presentes, no tiene más significado que este.  

— Armen Alchian , El significado de la medición de la utilidad [ 28 ]

Orden de preferencia

En 1955, Patrick Suppes y Muriel Winet resolvieron el problema de la representabilidad de las preferencias mediante una función de utilidad cardinal y derivaron el conjunto de axiomas y características primitivas necesarias para que este índice de utilidad funcione. [ 32 ]

Supongamos que se le pide a un agente que clasifique sus preferencias de A en relación con B y sus preferencias de B en relación con C. Si descubre que puede afirmar, por ejemplo, que su grado de preferencia de A sobre B supera su grado de preferencia de B sobre C , podríamos resumir esta información mediante cualquier triplete de números que satisfaga las dos desigualdades: U A > U B > U C y U A − U B > U B − U C.

Si A y B fueran sumas de dinero, el agente podría variar la suma de dinero representada por B hasta que pudiera decirnos que su grado de preferencia de A sobre la cantidad revisada B ′ era igual a su grado de preferencia de B ′ sobre C. Si encuentra tal B ′ , entonces los resultados de esta última operación se expresarían mediante cualquier terna de números que satisfaga las relaciones U A > U B ′ > U C y U A − U B ′ = U B ′ − U C. Cualquier par de ternas que obedezcan estas relaciones deben estar relacionadas por una transformación lineal; representan índices de utilidad que difieren solo en escala y origen. En este caso, "cardinalidad" no significa más que poder dar respuestas consistentes a estas preguntas particulares. Este experimento no requiere la mensurabilidad de la utilidad. Itzhak Gilboa da una explicación sólida de por qué la mensurabilidad nunca puede alcanzarse únicamente mediante la introspección :

Quizás te haya pasado que llevabas una pila de papeles o ropa y no te diste cuenta de que se te cayeron algunos. La disminución en el peso total que cargabas probablemente no fue lo suficientemente grande como para que lo notaras. Dos objetos pueden tener un peso demasiado similar como para que percibamos la diferencia. Este problema es común a la percepción en todos nuestros sentidos. Si te pregunto si dos varillas tienen la misma longitud o no, habrá diferencias demasiado pequeñas para que las notes. Lo mismo ocurre con tu percepción del sonido (volumen, tono), la luz, la temperatura, etc.

— Itzhak Gilboa, Teoría de la decisión bajo incertidumbre [ 33 ]

Según esta perspectiva, aquellas situaciones en las que una persona simplemente no puede distinguir entre A y B conducen a la indiferencia no por una coherencia de preferencias, sino por una percepción errónea de los sentidos. Además, los sentidos humanos se adaptan a un determinado nivel de estimulación y luego registran los cambios respecto a ese nivel base. [ 34 ]

Construcción

Supongamos que un agente tiene un orden de preferencia sobre resultados aleatorios (loterías). Si se le puede consultar sobre sus preferencias, es posible construir una función de utilidad cardinal que las represente. Este es el núcleo del teorema de utilidad de von Neumann-Morgenstern .

Aplicaciones

economía del bienestar

Entre los economistas del bienestar de la escuela utilitarista, ha existido la tendencia general a tomar la satisfacción (en algunos casos, el placer) como unidad de bienestar. Si la función de la economía del bienestar es aportar datos que sirvan al filósofo social o al estadista para la formulación de juicios sobre el bienestar, esta tendencia conduce, quizás, a una ética hedonista. [ 35 ]

En este marco, las acciones (incluida la producción de bienes y la prestación de servicios) se evalúan según su contribución a la riqueza subjetiva de las personas. En otras palabras, proporciona una forma de determinar el mayor bien para el mayor número de personas. Un acto que reduce la utilidad de una persona en 75 utils, mientras que aumenta la de otras dos en 50 utils cada una, incrementa la utilidad general en 25 utils y, por lo tanto, constituye una contribución positiva; un acto que le cuesta a la primera persona 125 utils, mientras que otorga los mismos 50 utils a otras dos personas, resulta en una pérdida neta de 25 utils.

Si una clase de funciones de utilidad es cardinal, se permiten comparaciones intrapersonales de las diferencias de utilidad. Si, además, algunas comparaciones de utilidad son interpersonalmente significativas, las transformaciones lineales utilizadas para producir la clase de funciones de utilidad deben estar restringidas entre personas. Un ejemplo es la comparabilidad de unidades cardinales. En ese entorno informativo, las transformaciones admisibles son funciones afines crecientes y, además, el factor de escala debe ser el mismo para todos. Este supuesto informativo permite comparaciones interpersonales de las diferencias de utilidad, pero los niveles de utilidad no pueden compararse interpersonalmente porque la intersección de las transformaciones afines puede diferir entre personas. [ 36 ]

Marginalismo

  • Según la teoría de la utilidad cardinal, el signo de la utilidad marginal de un bien es el mismo para todas las representaciones numéricas de una estructura de preferencias particular.
  • La magnitud de la utilidad marginal no es la misma para todos los índices de utilidad cardinal que representan la misma estructura de preferencias específica.
  • El signo de la segunda derivada de una función de utilidad diferenciable cardinal es el mismo para todas las representaciones numéricas de una estructura de preferencias particular. Dado que este signo suele ser negativo, cabe la posibilidad de que exista una ley de utilidad marginal decreciente en la teoría de la utilidad cardinal.
  • La magnitud de la segunda derivada de una función de utilidad diferenciable no es la misma para todos los índices de utilidad cardinales que representan la misma estructura de preferencias específica.

Teoría de la utilidad esperada

Este tipo de índices implica elecciones bajo riesgo. En este caso, A , B y C son loterías asociadas a resultados. A diferencia de la teoría de la utilidad cardinal bajo certeza, en la que la posibilidad de pasar de las preferencias a la utilidad cuantificada era casi trivial, aquí es fundamental poder mapear las preferencias al conjunto de los números reales, de modo que se pueda ejecutar la operación de esperanza matemática. Una vez realizado el mapeo, la introducción de supuestos adicionales daría como resultado un comportamiento consistente de las personas con respecto a las apuestas justas. Pero las apuestas justas son, por definición, el resultado de comparar una apuesta con un valor esperado de cero con alguna otra apuesta. Aunque es imposible modelar las actitudes hacia el riesgo si no se cuantifica la utilidad, la teoría no debe interpretarse como una medición de la fuerza de la preferencia bajo certeza. [ 37 ]

Construcción de la función de utilidad

Supongamos que ciertos resultados están asociados con tres estados de la naturaleza, de modo que x 3 es preferido sobre x 2 , que a su vez es preferido sobre x 1 ; este conjunto de resultados, X , puede considerarse un premio monetario calculable en un juego de azar controlado, único salvo un factor de proporcionalidad positivo que depende de la unidad monetaria.

Sean L 1 y L 2 dos loterías con probabilidades p 1 , p 2 , y p 3 de x 1 , x 2 , y x 3 respectivamente.

L1=(0,6,0,0,4),{\displaystyle L_{1}=(0.6,0,0.4),}
L2=(0,1,0) .{\displaystyle L_{2}=(0,1,0)\ .}

Supongamos que alguien tiene la siguiente estructura de preferencias bajo riesgo:

L1≻L2,{\displaystyle L_{1}\succ L_{2},}

lo que significa que L 1 es preferible a L 2. Al modificar los valores de p 1 y p 3 en L 1 , eventualmente habrá algunos valores apropiados ( L 1' ) para los cuales se encontrará que es indiferente entre él y L 2 , por ejemplo

L1′=(0,5,0,0,5).{\displaystyle L_{1}'=(0.5,0,0.5).}

La teoría de la utilidad esperada nos dice que

miU(L1′)=miU(L2){\displaystyle UE(L_{1}')=UE(L_{2})}

y entonces

(0,5)×tú(incógnita1)+(0,5)×tú(incógnita3)=1×tú(incógnita2).{\displaystyle (0.5)\times u(x_{1})+(0.5)\times u(x_{3})=1\times u(x_{2}).}

En este ejemplo de Majumdar [ 38 ], al fijar el valor cero del índice de utilidad de modo que la utilidad de x1 sea 0, y al elegir la escala de modo que la utilidad de x2 sea igual a 1 , se obtiene

(0,5)×tú(incógnita3)=1.{\displaystyle (0.5)\times u(x_{3})=1.}
tú(incógnita3)=2.{\displaystyle u(x_{3})=2.}

Utilidad intertemporal

Los modelos de utilidad con varios periodos, en los que las personas descuentan valores futuros de utilidad, necesitan emplear cardinalidades para tener funciones de utilidad bien definidas. Según Paul Samuelson, la maximización de la suma descontada de utilidades futuras implica que una persona puede clasificar las diferencias de utilidad. [ 39 ]

Controversias

Algunos autores han comentado sobre el carácter engañoso de los términos "utilidad cardinal" y "utilidad ordinal", tal como se utilizan en la jerga económica:

Estos términos, que parecen haber sido introducidos por Hicks y Allen (1934), tienen escasa o ninguna relación con el concepto matemático de números ordinales y cardinales; más bien son eufemismos para los conceptos de homomorfismo de orden a los números reales y homomorfismo de grupo a los números reales.

— John Chipman, Los fundamentos de la utilidad [ 30 ]

Aún existen economistas que creen que la utilidad, si bien no puede medirse directamente, al menos puede aproximarse para proporcionar algún tipo de medición, de forma similar a como los precios, que carecen de una unidad uniforme para establecer un nivel de precios real, pueden indexarse ​​para obtener una "tasa de inflación" (que en realidad representa la variación de los precios de productos indexados ponderados). Estas medidas no son perfectas, pero pueden servir como aproximación a la utilidad. El enfoque de Lancaster [ 40 ] sobre la demanda del consumidor, basado en las características, ilustra este punto.

Comparación entre funciones de utilidad ordinales y cardinales

La siguiente tabla compara los dos tipos de funciones de utilidad comunes en economía:

Véase también

Referencias

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  • Medidas de intensidad de las preferencias del consumidor
  • "Hacia una reconstrucción de la economía de la utilidad y el bienestar"
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