Ecuación de integrodiferencia

En matemáticas , una ecuación de integrodiferencia es una relación de recurrencia en un espacio de funciones , de la siguiente forma:

${\displaystyle n_{t+1}(x)=\int _{\Omega }k(x,y)\,f(n_{t}(y))\,dy,}$

donde es una secuencia en el espacio de funciones y es el dominio de esas funciones. En la mayoría de las aplicaciones, para cualquier , es una función de densidad de probabilidad en . Nótese que en la definición anterior, puede tener un valor vectorial, en cuyo caso cada elemento de tiene una ecuación de integrodiferencia con valor escalar asociada a él. Las ecuaciones de integrodiferencia se utilizan ampliamente en biología matemática , especialmente en ecología teórica , para modelar la dispersión y el crecimiento de poblaciones. ^[1] En este caso, es el tamaño o densidad de la población en la ubicación en el momento , describe el crecimiento de la población local en la ubicación y , es la probabilidad de moverse de un punto a otro , a menudo denominado núcleo de dispersión. Las ecuaciones de integrodiferencia se utilizan con mayor frecuencia para describir poblaciones univoltinas , que incluyen, entre otras, muchos artrópodos y especies de plantas anuales. Sin embargo, las poblaciones multivoltinas también se pueden modelar con ecuaciones de integrodiferencia, ^[2] siempre que el organismo tenga generaciones que no se superpongan. En este caso no se mide en años, sino en el incremento de tiempo entre crías. ${\displaystyle \{n_{t}\}\,}$${\estilo de visualización \Omega \,}$${\displaystyle y\en \Omega \,}$${\displaystyle k(x,y)\,}$${\estilo de visualización \Omega \,}$$estilo de visualización n_{t}$$Estilo de visualización: n_{t}$$Estilo de visualización n_{t}(x)$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización t}$$Estilo de visualización f(n_{t}(x))$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle k(x,y)}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización t}$

En una dimensión espacial, el núcleo de dispersión a menudo depende sólo de la distancia entre la fuente y el destino, y puede escribirse como . En este caso, algunas condiciones naturales en f y k implican que existe una velocidad de propagación bien definida para las olas de invasión generadas a partir de condiciones iniciales compactas. La velocidad de la ola a menudo se calcula estudiando la ecuación linealizada ${\displaystyle k(xy)}$

${\displaystyle n_{t+1}=\int _{-\infty }^{\infty }k(xy)Rn_{t}(y)dy}$

donde . Esto se puede escribir como la convolución ${\displaystyle R=\left.{\dfrac {df}{dn}}\right|_{n=0}}$

${\displaystyle n_{t+1}=f'(0)k*n_{t}}$

Utilizando una transformación de función generadora de momentos

${\displaystyle M(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{sx}n(x)dx}$

Se ha demostrado que la velocidad crítica de la onda

${\displaystyle c^{*}=\min _{w>0}\left[{\frac {1}{w}}\ln \left(R\int _{-\infty }^{\infty }k(s)e^{ws}ds\right)\right]}$

Otros tipos de ecuaciones que se utilizan para modelar la dinámica de poblaciones a través del espacio incluyen ecuaciones de reacción-difusión y ecuaciones de metapoblación . Sin embargo, las ecuaciones de difusión no permiten con tanta facilidad la inclusión de patrones de dispersión explícitos y solo son biológicamente precisas para poblaciones con generaciones superpuestas. ^[3] Las ecuaciones de metapoblación se diferencian de las ecuaciones de integrodiferencia en el hecho de que descomponen la población en parches discretos en lugar de un paisaje continuo.