Trayectoria libre media inelástica

El camino libre medio inelástico ( IMFP , por sus siglas en inglés) es un índice que indica la distancia promedio que recorre un electrón a través de un sólido antes de perder energía.

Si un haz primario monocromático de electrones incide sobre una superficie sólida, la mayoría de los electrones incidentes pierden su energía debido a su fuerte interacción con la materia , lo que da lugar a la excitación de plasmones , la formación de pares electrón-hueco y la excitación vibracional. ^{[ 2 ]} La intensidad de los electrones primarios, I ₀ , se atenúa en función de la distancia, d , dentro del sólido. La disminución de la intensidad se puede expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle I(d)=I_{0}\ e^{-d\ /\lambda (E)}}$

donde I ( d ) es la intensidad después de que el haz de electrones primario haya recorrido el sólido una distancia d . El parámetro λ( E ) , denominado camino libre medio inelástico (IMFP), se define como la distancia que un haz de electrones puede recorrer antes de que su intensidad disminuya a 1/ e de su valor inicial. (Cabe destacar que esta ecuación está estrechamente relacionada con la ley de Beer-Lambert ).

El camino libre medio inelástico de los electrones se puede describir aproximadamente mediante una curva universal que es la misma para todos los materiales. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

El conocimiento del IMFP es indispensable para varias mediciones de espectroscopia y microscopía electrónica . ^{[ 4 ]}

A continuación, ^{[ 5 ]} se emplea el IMFP para calcular la longitud de atenuación efectiva (EAL), la profundidad de escape media (MED) y la profundidad de información (ID). Además, se puede utilizar el IMFP para realizar correcciones matriciales del factor de sensibilidad relativa en el análisis cuantitativo de superficies. Asimismo, el IMFP es un parámetro importante en las simulaciones de Monte Carlo del transporte de fotoelectrones en la materia.

Los cálculos del IMFP se basan principalmente en el algoritmo (algoritmo completo de Penn, FPA) desarrollado por Penn, ^{[ 6 ]} constantes ópticas experimentales o datos ópticos calculados (para compuestos). ^{[ 5 ]} El FPA considera un evento de dispersión inelástica y la dependencia de la función de pérdida de energía (EFL) en la transferencia de momento , que describe la probabilidad de dispersión inelástica en función de la transferencia de momento. ^{[ 5 ]}

Para medir el IMFP, un método bien conocido es la espectroscopia de electrones de pico elástico (EPES). ^{[ 5 ] [ 7 ]} Este método mide la intensidad de los electrones retrodispersados ​​elásticamente con una cierta energía desde un material de muestra en una dirección determinada. Aplicando una técnica similar a materiales cuyo IMFP es conocido, las mediciones se comparan con los resultados de las simulaciones de Monte Carlo bajo las mismas condiciones. De esta manera, se obtiene el IMFP de un material determinado en un espectro de energía específico. Las mediciones de EPES muestran una diferencia cuadrática media (RMS) de entre el 12 % y el 17 % con respecto a los valores teóricos esperados. ^{[ 5 ]} Los resultados calculados y experimentales muestran una mayor concordancia para energías más altas. ^{[ 5 ]}

Para energías electrónicas en el rango de 30 keV a 1 MeV, el IMFP se puede medir directamente mediante espectroscopia de pérdida de energía electrónica dentro de un microscopio electrónico de transmisión , siempre que se conozca el espesor de la muestra. Dichas mediciones revelan que el IMFP en sólidos elementales no es una función continua, sino oscilatoria del número atómico . ^{[ 8 ]}

Para energías inferiores a 100 eV, el IMFP puede evaluarse en experimentos de rendimiento de electrones secundarios (SEY) de alta energía. ^{[ 9 ]} Por lo tanto, se analiza el SEY para una energía incidente arbitraria entre 0,1 keV y 10 keV. Según estos experimentos, se puede utilizar un modelo de Monte Carlo para simular los SEY y determinar el IMFP por debajo de 100 eV.

Utilizando el formalismo dieléctrico, ^{[ 4 ]} el IMFP${\displaystyle \lambda ^{-1}}$se puede calcular resolviendo la siguiente integral:

con la mínima (máxima) pérdida de energía${\displaystyle \omega _{\mathrm {min} }}$(${\displaystyle \omega _ {\mathrm {max} }}$), la función dieléctrica${\displaystyle \epsilon }$, la función de pérdida de energía (ELF)${\displaystyle \mathrm {Im} ({\frac {-1}{\epsilon (k,\omega )}})}$y la transferencia de momento más pequeña y más grande${\displaystyle k_{\pm }={\sqrt {2E}}\pm {\sqrt {2(E-\omega )}}}$En general, resolver esta integral es bastante complejo y solo se aplica a energías superiores a 100 eV. Por lo tanto, se introdujeron fórmulas (semi)empíricas para determinar el IMFP.

Un primer enfoque consiste en calcular el IMFP mediante una forma aproximada de la ecuación de Bethe relativista para la dispersión inelástica de electrones en la materia. ^{[ 5 ] [ 10 ]} La ecuación 2 es válida para energías entre 50 eV y 200 keV:

con

${\displaystyle \alpha (E)={\frac {1+{\frac {E}{2m_{e}c^{2}}}}{(1+{\frac {E}{m_{e}c^{2}}})^{2}}}={\frac {1+{\frac {E}{1021}}999,8}{(1+{\frac {E}{510}}998,9)^{2}}}}$

y

${\displaystyle E_{p}=28.816\left({\frac {N_{\nu }\rho }{M}}\right)^{0.5}(\mathrm {eV} )}$

y la energía del electrón${\displaystyle E}$en eV por encima del nivel de Fermi (conductores) o por encima del fondo de la banda de conducción (no conductores).${\displaystyle m_{e}}$es la masa del electrón,${\displaystyle c}$la velocidad de la luz en el vacío,${\displaystyle N_{\nu }}$es el número de electrones de valencia por átomo o molécula,${\displaystyle \rho }$describe la densidad (en${\displaystyle \mathrm {\frac {g}{cm^{3}}} }$),${\displaystyle M}$es el peso atómico o molecular y${\displaystyle \beta }$,${\displaystyle \gamma }$,${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$son parámetros determinados a continuación. La ecuación 2 calcula el IMFP y su dependencia de la energía del electrón en la materia condensada.

La ecuación 2 se desarrolló aún más ^{[ 5 ] [ 11 ]} para encontrar las relaciones para los parámetros${\displaystyle \beta }$,${\displaystyle \gamma }$,${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$Para energías entre 50 eV y 2 keV:

• ${\displaystyle \gamma =0.191\rho ^{-0.5}(\mathrm {eV^{-1}} )}$
• ${\displaystyle C=19,7-9,1U(\mathrm {nm^{-1}} )}$
• ${\displaystyle D=534-208U(\mathrm {eV} \mathrm {nm^{-1}} )}$
• ${\displaystyle U={\frac {N_{\nu }\rho }{M}}=(E_{p}/28.816)^{2}}$

Aquí, la energía de banda prohibida${\displaystyle E_{g}}$se da en eV. Las ecuaciones 2 y 3 también se conocen como ecuaciones TTP-2M y son generalmente aplicables para energías entre 50 eV y 200 keV. Se omiten algunos materiales (diamante, grafito, Cs, BN cúbico y BN hexagonal) que no siguen estas ecuaciones (debido a desviaciones en${\displaystyle \beta }$), las ecuaciones TTP-2M muestran una concordancia precisa con las mediciones.

Otro enfoque basado en la ecuación 2 para determinar el IMFP es la fórmula S1. ^{[ 5 ] [ 12 ]} Esta fórmula se puede aplicar para energías entre 100 eV y 10 keV:

${\displaystyle \lambda ^{-1}={\frac {(4+0.44Z^{0.5}+0.104E^{0.872})a^{1.7}}{Z^{0.3}(1-W)}}}$

con el número atómico${\displaystyle Z}$(número atómico promedio de un compuesto),${\displaystyle W=0.06H}$o${\displaystyle W=0.02E_{g}}$(${\displaystyle H}$es el calor de formación de un compuesto en eV por átomo) y el espaciado atómico promedio${\displaystyle a}$:

${\displaystyle a^{3}={\frac {10^{21}M}{\rho N_{A}(g+h)}}(\mathrm {nm^{3}} )}$

con la constante de Avogadro${\displaystyle N_{A}}$y los coeficientes estequiométricos${\displaystyle g}$y${\displaystyle h}$que describen compuestos binarios${\displaystyle G_{g}H_{h}}$En este caso, el número atómico se convierte en

${\displaystyle Z={\frac {gZ_{g}+hZ_{h}}{g+h}}}$

con los números atómicos${\displaystyle Z_{g}}$y${\displaystyle Z_{h}}$de los dos constituyentes. Esta fórmula S1 muestra una mayor concordancia con las mediciones en comparación con la ecuación 2. ^{[ 5 ]}

El cálculo del IMFP con la fórmula TTP-2M o la fórmula S1 requiere un conocimiento diferente de algunos parámetros. ^{[ 5 ]} Para aplicar la fórmula TTP-2M es necesario saber${\displaystyle M}$,${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle N_{\nu }}$para materiales conductores (y también${\displaystyle E_{g}}$para no conductores). Empleando la fórmula S1, conocimiento del número atómico${\displaystyle Z}$(número atómico promedio para los compuestos),${\displaystyle M}$y${\displaystyle \rho }$es necesario para los conductores. Si se consideran materiales no conductores, también es necesario saber${\displaystyle E_{g}}$o${\displaystyle H}$.

En 2021 se propuso una fórmula analítica para calcular el IMFP hasta 50 eV. ^{[ 4 ]} Por lo tanto, se añadió un término exponencial a una fórmula analítica ya derivada de 1 que era aplicable para energías de hasta 500 eV:

Para los electrones relativistas se cumple lo siguiente:

con la velocidad del electrón${\displaystyle v}$,${\displaystyle v^{2}=c^{2}\tau (\tau +2)/(\tau +1)^{2}}$y${\displaystyle \tau =E/c^{2}}$.${\displaystyle c}$denota la velocidad de la luz.${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle a_{0}}$se dan en nanómetros. Las constantes en 4 y 5 se definen de la siguiente manera:

• ${\displaystyle A=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\,d\omega }$
• ${\displaystyle A\ln {(I)}=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\ln {(\omega )}\,d\omega }$
• ${\displaystyle C=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\omega \,d\omega }$

Los datos de IMFP se pueden obtener de la base de datos de trayectoria libre media inelástica de electrones del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST) ^{[ 13 ]} o de la base de datos del NIST para la simulación de espectros de electrones para análisis de superficies (SESSA) ^{[ 14 ]} . Los datos contienen IMFP determinados por EPES para energías inferiores a 2 keV. En caso contrario, los IMFP se pueden determinar a partir de la fórmula TPP-2M o S1 ^{[ 5 ] .}

• Ley Beer-Lambert
• Teoría de la dispersión