Símbolo no lógico

En lógica matemática , especialmente en teoría de modelos , los símbolos no lógicos son elementos de un lenguaje formal cuya interpretación puede variar según el modelo. En lógica de primer orden , estos suelen consistir en símbolos constantes, símbolos de función y predicados . Esto contrasta con las constantes lógicas , que deben tener la misma interpretación en todos los modelos, como los conectores lógicos y los cuantificadores .

Un símbolo no lógico solo tiene significado o contenido semántico cuando se le asigna uno mediante una interpretación . Por consiguiente, una oración que contiene un símbolo no lógico carece de significado salvo bajo una interpretación, por lo que se dice que una oración es verdadera o falsa bajo una interpretación . Estos conceptos se definen y analizan en el artículo sobre lógica de primer orden , y en particular en la sección sobre sintaxis .

El símbolo de igualdad a veces se trata como un símbolo no lógico y otras veces como un símbolo lógico. Si se trata como un símbolo lógico, cualquier interpretación requerirá interpretar el signo de igualdad utilizando la igualdad verdadera; si se interpreta como un símbolo no lógico, puede interpretarse mediante una relación de equivalencia arbitraria .

Firmas

Una firma es un conjunto de constantes no lógicas junto con información adicional que identifica cada símbolo como un símbolo constante, un símbolo de función de aridad específica n (un número natural) o un símbolo de relación de aridad específica. La información adicional controla cómo se pueden usar los símbolos no lógicos para formar términos y fórmulas. Por ejemplo, si f es un símbolo de función binaria y c es un símbolo constante, entonces f ( x , c ) es un término, pero c ( x , f ) no lo es. Los símbolos de relación no se pueden usar en términos, pero sí para combinar uno o más términos (según la aridad) en una fórmula atómica.

Por ejemplo, una firma podría consistir en un símbolo de función binaria +, un símbolo de constante 0 y un símbolo de relación binaria <.

Modelos

Las estructuras que se aplican a una firma, también conocidas como modelos , proporcionan una semántica formal a dicha firma y al lenguaje de primer orden que se aplica a ella.

Una estructura sobre una firma consiste en un conjunto $D$ (conocido como el dominio del discurso ) junto con las interpretaciones de los símbolos no lógicos: Cada símbolo constante es interpretado por un elemento de $D$ y la interpretación de un $n$ El símbolo de función -aria es un $n$ -aria función en $D;$ es decir, una función $D^{n}\to D$ desde $n$ -producto cartesiano del dominio al dominio mismo. Cada $n$ El símbolo de relación -aria es interpretado por un $n$ relación -aria en el dominio; es decir, por un subconjunto de $D^{n}.$

Un ejemplo de una estructura sobre la signatura mencionada anteriormente es el grupo ordenado de enteros . Su dominio es el conjunto $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$ de enteros. El símbolo de función binaria $+$ se interpreta mediante la suma, el símbolo constante 0 mediante la identidad aditiva y el símbolo de relación binaria < mediante la relación menor que.

Semántica informal

Fuera de un contexto matemático, suele ser más apropiado trabajar con interpretaciones más informales.

Señales descriptivas

Rudolf Carnap introdujo una terminología que distingue entre símbolos lógicos y no lógicos (a los que denominó signos descriptivos ) de un sistema formal bajo un determinado tipo de interpretación , definidos por lo que describen en el mundo.

Un signo descriptivo se define como cualquier símbolo de un lenguaje formal que designa cosas o procesos del mundo, o propiedades o relaciones entre cosas. Esto contrasta con los signos lógicos , que no designan nada en el mundo de los objetos. El uso de los signos lógicos está determinado por las reglas lógicas del lenguaje, mientras que el significado se atribuye arbitrariamente a los signos descriptivos cuando se aplican a un dominio determinado de individuos. ^{[ 1 ]}