impedancia de imagen

La impedancia imagen es un concepto utilizado en el diseño y análisis de redes electrónicas, especialmente en el diseño de filtros . El término impedancia imagen se refiere a la impedancia vista desde un puerto de la red. Generalmente se asume una red de dos puertos , pero el concepto puede extenderse a redes con más de dos puertos. La definición de impedancia imagen para una red de dos puertos es la impedancia, Z _{i  1} , vista desde el puerto 1 cuando el puerto 2 está terminado con la impedancia imagen, Z _{i  2} , del puerto 2. En general, las impedancias imagen de los puertos 1 y 2 no serán iguales a menos que la red sea simétrica (o antisimétrica) con respecto a los puertos.

Algunas partes de este artículo o sección dependen del conocimiento que tenga el lector sobre la representación de impedancia compleja de capacitores e inductores y sobre el conocimiento de la representación de señales en el dominio de la frecuencia .

Como ejemplo,  a continuación se muestra la derivación de las impedancias de imagen de una red 'L' simple. La red 'L' consta  de una impedancia en serie , Z , y una admitancia en paralelo , Y.

La dificultad radica en que, para hallar Z _{i  1,} primero es necesario terminar el puerto 2 con Z _{i  2.} Sin embargo, Z _{i  2} también es una incógnita en esta etapa. El problema se resuelve terminando el puerto  2 con una red idéntica: el puerto  2 de la segunda red se conecta al puerto  2 de la primera red y el puerto  1 de la segunda red se termina con Z _{i  1.} La segunda red termina la primera red en Z _{i  2} , como se requiere. Matemáticamente, esto equivale a eliminar una variable de un sistema de ecuaciones simultáneas. Ahora se puede resolver la red para hallar Z _{i  1.} Al escribir la expresión para la impedancia de entrada, obtenemos:

${\displaystyle Z_{i1}=Z+{\frac {1}{2Y+{\frac {1}{Z+Z_{i1}}}}}}$

y resolver para${\displaystyle Z_{i1}\ ,}$

${\displaystyle Z_{i1}^{2}=Z^{2}+{\frac {Z}{Y}}}$

Z _{i  2} se encuentra mediante un proceso similar, pero es más sencillo trabajar en términos del recíproco, es decir, la admitancia de la imagen Y _{i  2} ,

${\displaystyle Y_{i2}^{2}=Y^{2}+{\frac {Y}{Z}}~.}$

Además, de estas expresiones se puede observar que las dos impedancias de imagen están relacionadas entre sí por:

${\displaystyle {\frac {Z_{i1}}{Y_{i2}}}={\frac {Z}{Y}}~.}$

La medición directa de la impedancia de imagen mediante el ajuste de las terminaciones es un proceso iterativo e inconveniente, y requiere componentes ajustables de precisión para efectuar la terminación. Una técnica alternativa para determinar la impedancia de imagen del puerto 1 consiste en medir la impedancia de cortocircuito Z _SC (es decir, la impedancia de entrada del puerto 1 cuando el puerto 2 está en cortocircuito) y la impedancia de circuito abierto Z _OC (la impedancia de entrada del puerto 1 cuando el puerto 2 está en circuito abierto). La impedancia de imagen viene dada entonces por:

${\displaystyle Z_{i1}={\sqrt {Z_{\mathrm {SC} }Z_{\mathrm {OC} }}}}$

Este método no requiere ningún conocimiento previo de la topología de la red que se está midiendo.

Cuando se utiliza en el diseño de filtros, la red en forma de "L" analizada anteriormente se suele denominar media sección. Dos medias secciones en cascada formarán una sección en T o una sección en Π, dependiendo de qué puerto de la sección en L aparezca primero. Esto lleva a que la terminología Z _{i  T} se refiera a Z _{i  1} en el análisis anterior y Z _{i  Π} a Z _{i  2} .

La impedancia imagen es un concepto similar a la impedancia característica utilizada en el análisis de líneas de transmisión . De hecho, en el caso límite de una cadena de redes en cascada donde el tamaño de cada red individual se aproxima a un elemento infinitesimalmente pequeño, el límite matemático de la expresión de la impedancia imagen es la impedancia característica de la cadena. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Es decir,

${\displaystyle Z_{i}^{2}\rightarrow {\frac {Z}{Y}}}$

La conexión entre ambos conceptos se aprecia mejor al considerar una definición alternativa, pero equivalente, de impedancia imagen. En esta definición, la impedancia imagen de una red es la impedancia de entrada de una cadena infinitamente larga de redes idénticas conectadas en cascada (con los puertos dispuestos de forma que las impedancias iguales se enfrenten entre sí). Esto es directamente análogo a la definición de impedancia característica como la impedancia de entrada de una línea de longitud infinita.

Por el contrario, es posible analizar una línea de transmisión con componentes concentrados , como una que utiliza bobinas de carga , en términos de un filtro de impedancia imagen.

La función de transferencia de la media sección, al igual que la impedancia de imagen, se calcula para una red terminada en sus impedancias de imagen (o equivalentemente, para una sola sección en una cadena infinitamente larga de secciones idénticas) y viene dada por:

${\displaystyle A(i\omega )={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I1}}}}e^{-\gamma }}$

donde γ se denomina función de transmisión, función de propagación o parámetro de transmisión y viene dada por:

${\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\sqrt {ZY}}}$

El${\displaystyle {\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I1}}}}}$El término representa la relación de voltaje que se observaría si se transfiriera la máxima potencia disponible de la fuente a la carga. Sería posible absorber este término en la definición de γ , y en algunos tratamientos se adopta este enfoque. En el caso de una red con impedancias de imagen simétricas, como una cadena de un número par de secciones L idénticas, la expresión se reduce a:

${\displaystyle A(i\omega )=e^{-\gamma }\,\!}$

En general, γ es un número complejo tal que,

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta \,\!}$

La parte real de γ representa un parámetro de atenuación, α en nepers , y la parte imaginaria representa un parámetro de cambio de fase, β en radianes . Los parámetros de transmisión para una cadena de n semisecciones, siempre que la misma impedancia se enfrente a la misma, vienen dados por:

${\displaystyle \gamma _ {n}=n\gamma \,\!}$

Al igual que con la impedancia de imagen, los parámetros de transmisión se aproximan a los de una línea de transmisión a medida que la sección del filtro se vuelve infinitesimalmente pequeña, de modo que,

${\displaystyle \gamma \rightarrow {\sqrt {ZY}}}$

Ahora , α , β , γ , Z e Y se miden por metro en lugar de por media sección.

• Filtros de k constante
• filtros derivados de m
• impedancia iterativa
• impedancia característica

• Matthaei, Young, Jones. Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento. McGraw-Hill, 1964.