Well-posed problem

In mathematics, the solution to a well-posed problem satisfies the following properties:

1. It exists;
2. It is unique;
3. Its behavior changes continuously with the auxiliary conditions, such as initial or boundary values.

These criteria were first introduced by Jacques Hadamard in 1902.^[1]:131

Examples of archetypal well-posed problems include the Dirichlet problem for Laplace's equation, and the heat equation with specified initial conditions. These might be regarded as 'natural' problems in that there are physical processes modeled by these problems.

Problems that are not well-posed in the sense above are termed ill-posed. A simple example is a global optimization problem, because the location of the optima is generally not a continuous function of the parameters specifying the objective, even when the objective itself is a smooth function of those parameters. Inverse problems are often ill-posed; for example, the inverse heat equation, deducing a previous distribution of temperature from final data, is not well-posed in that the solution is highly sensitive to changes in the final data.

Continuum models must often be discretized in order to obtain a numerical solution. While solutions may be continuous with respect to the initial conditions, they may suffer from numerical instability when solved with finite precision, or with errors in the data.

Even if a problem is well-posed, it may still be ill-conditioned, meaning that a small error in the initial data can result in much larger errors in the answers. Problems in nonlinear complex systems (so-called chaotic systems) provide well-known examples of instability. An ill-conditioned problem is indicated by a large condition number.

If the problem is well-posed, then it stands a good chance of solution on a computer using a stable algorithm. If it is not well-posed, it needs to be re-formulated for numerical treatment. Typically this involves including additional assumptions, such as smoothness of solution. This process is known as regularization.^[2]Tikhonov regularization is one of the most commonly used for regularization of linear ill-posed problems.

La existencia de soluciones locales suele ser una parte importante del problema de la buena formulación, y es la base de muchos métodos de estimación, por ejemplo, el método de la energía que se describe a continuación.

Existen numerosos resultados sobre este tema. Por ejemplo, el teorema de Cauchy-Kowalevski para problemas de valor inicial de Cauchy establece que si los términos de una ecuación diferencial parcial están formados por funciones analíticas y se cumple una condición de transversalidad (el hiperplano o, más generalmente, la hipersuperficie donde se plantean los datos iniciales debe ser no característico con respecto al operador diferencial parcial), entonces, en ciertas regiones, existen necesariamente soluciones que también son funciones analíticas. Este es un resultado fundamental en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales analíticas. Sorprendentemente, el teorema no se cumple en el caso de funciones suaves; un ejemplo descubierto por Hans Lewy en 1957 consiste en una ecuación diferencial parcial lineal cuyos coeficientes son suaves (es decir, tienen derivadas de todos los órdenes) pero no analíticos, para la cual no existe solución. Por lo tanto, el teorema de Cauchy-Kowalevski se limita necesariamente a funciones analíticas.

El método energético es útil para establecer tanto la unicidad como la continuidad con respecto a las condiciones iniciales (es decir, no establece la existencia). El método se basa en derivar una cota superior de un funcional de tipo energético para un problema dado.

Ejemplo : Consideremos la ecuación de difusión en el intervalo unitario con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas y datos iniciales adecuados.${\displaystyle f(x)}$(por ejemplo para cuál${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$).

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Multiplica la ecuación${\displaystyle u_{t}=Du_{xx}}$por${\displaystyle u}$e integrar en el espacio sobre el intervalo unitario para obtener

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}}$$

Esto nos dice que${\displaystyle \|u\|_{2}}$( p-norma ) no puede crecer en el tiempo. Al multiplicar por dos e integrar en el tiempo, desde${\displaystyle 0}$arriba a${\displaystyle t}$, uno encuentra

$${\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

Este resultado es la estimación de energía para este problema.

Para demostrar la unicidad de las soluciones, supongamos que hay dos soluciones distintas al problema, llamémoslas${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$, cada uno satisfaciendo los mismos datos iniciales. Al definir${\displaystyle w=uv}$Entonces, mediante la linealidad de las ecuaciones, se encuentra que${\displaystyle w}$Satisface

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Aplicar la estimación de energía nos dice${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$lo cual implica${\displaystyle u=v}$( en casi todas partes ).

De manera similar, para demostrar la continuidad con respecto a las condiciones iniciales, supongamos que${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$son soluciones que corresponden a diferentes datos iniciales${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$y${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$. Considerando${\displaystyle w=uv}$Una vez más, uno descubre que${\displaystyle w}$satisface las mismas ecuaciones que las anteriores pero con${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$Esto lleva a la estimación de energía.${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$que establece continuidad (es decir, como${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$acercarse, según lo medido por el${\displaystyle L^{2}}$norma de su diferencia, entonces${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$).

El principio del máximo es un método alternativo para establecer la unicidad y la continuidad de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales en este ejemplo. La existencia de soluciones a este problema puede comprobarse mediante series de Fourier .

Si es posible denotar la solución a un problema de Cauchy${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=Au,u(0)=u_{0}{\text{ (1)}}}$, donde A es un operador lineal que mapea un subespacio lineal denso D(A) de X en X (véase el mapeo lineal discontinuo ), con${\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}}$, dónde${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$es una familia de operadores lineales en X que satisface

• ${\displaystyle S(0)=I}$
• ${\displaystyle S(a+b)=S(a)S(b)=S(b)S(a)}$para cualquier${\displaystyle a,b\geq 0}$
• ${\displaystyle t\mapsto S(t)w}$es continuo para cada${\displaystyle w}$en${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}S(t)w=AS(t)w}$por cada${\displaystyle w}$en${\displaystyle X}$

entonces (1) está bien planteado.

El teorema de Hille-Yosida establece los criterios sobre A para tal${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$existir.

• Espectroscopia de absorción total : un ejemplo de problema inverso o problema mal condicionado en una situación real que se resuelve mediante el algoritmo de expectativa-maximización.

• Hadamard, Jacques (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique . Boletín de la Universidad de Princeton. págs. 49 a 52. 
• Parker, Sybil B., ed. (1989) [1974]. Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos (4.ª  ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-045270-9.
• Tikhonov, AN; Arsenin, VY (1977). Soluciones de problemas mal planteados . Nueva York: Winston. ISBN 0-470-99124-0.
• Strauss, Walter A. (2008). Ecuaciones diferenciales parciales; Una introducción (2.ª  ed.). Hoboken: Wiley. ISBN 978-0470-05456-7.
• Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales (PDF) . Providence (RI): Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-0772-2.