Función zeta de Igusa

En matemáticas , una función zeta de Igusa ^es un tipo de función generadora que cuenta ^el número de soluciones de una ecuación, módulo p , p2 , p3 , etc.

Para un número primo p, sea K un cuerpo p-ádico , es decir${\displaystyle [K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty }$, R el anillo de valoración y P el ideal maximal . Para${\displaystyle z\in K}$denotamos por${\displaystyle \operatorname {ord} (z)}$ la valoración de z ,${\displaystyle \mid z\mid =q^{-\operatorname {ord} (z)}}$, y${\displaystyle ac(z)=z\pi ^{-\operatorname {ord} (z)}}$para un parámetro de uniformización π de R.

Además, dejemos que${\displaystyle \phi :K^{n}\to \mathbb {C} }$Sea una función de Schwartz-Bruhat , es decir, una función localmente constante con soporte compacto , y sea${\displaystyle \chi }$ser un personaje de${\displaystyle R^{\times }}$.

En esta situación se asocia a un polinomio no constante${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$la función zeta de Igusa

${\displaystyle Z_{\phi }(s,\chi )=\int _{K^{n}}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\chi (ac(f(x_{1},\ldots ,x_{n})))|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx}$

dónde${\displaystyle s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,}$y dx es la medida de Haar, por lo que está normalizada.${\displaystyle R^{n}}$tiene medida 1.

Jun-Ichi Igusa ( 1974 ) demostró que ${\displaystyle Z_{\phi }(s,\chi )}$es una función racional en${\displaystyle t=q^{-s}}$La demostración utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades . Posteriormente, Jan Denef presentó una demostración completamente diferente mediante la descomposición celular p-ádica. Sin embargo, se sabe poco sobre fórmulas explícitas. (Existen algunos resultados sobre las funciones zeta de Igusa de las variedades de Fermat ).

De ahora en adelante tomamos${\displaystyle \phi }$ser la función característica de${\displaystyle R^{n}}$y${\displaystyle \chi }$ser el personaje trivial. Que${\displaystyle N_{i}}$denota el número de soluciones de la congruencia

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}}$.

Luego, la función zeta de Igusa

${\displaystyle Z(t)=\int _{R^{n}}|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{t}\,dx}$

está estrechamente relacionada con la serie de Poincaré.

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{\infty }q^{-in}N_{i}t^{i}}$

por

${\displaystyle P(t)={\frac {1-tZ(t)}{1-t}}.}$

• Igusa, Jun-Ichi (1974), "Poderes complejos y expansiones asintóticas. I. Funciones de ciertos tipos", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1974 ( 268– 269): 110– 130, doi : 10.1515/crll.1974.268-269.110 , Zbl 0287.43007 
• La información para este artículo se tomó de J. Denef, Informe sobre la función zeta local de Igusa, Séminaire Bourbaki 43 (1990-1991), exp. 741; Astérisque 201-202-203 (1991), 359-386.