Modelado de diodos

En electrónica , el modelado de diodos se refiere a los modelos matemáticos utilizados para aproximar el comportamiento real de los diodos reales para permitir cálculos y análisis de circuitos. La curva I - V de un diodo no es lineal .

Un modelo físico muy preciso, pero complicado, compone la curva IV a partir de tres exponenciales con una pendiente ligeramente diferente (es decir, factor de idealidad ), que corresponden a diferentes mecanismos de recombinación en el dispositivo; ^{[ 1 ]} en corrientes muy grandes y muy pequeñas la curva puede continuarse mediante segmentos lineales (es decir, comportamiento resistivo).

En una aproximación relativamente buena, un diodo se modela mediante la ley de Shockley de diodo monoexponencial . Esta no linealidad aún complica los cálculos en circuitos que involucran diodos, por lo que a menudo se utilizan modelos aún más simples.

Este artículo trata sobre el modelado de diodos de unión pn , pero las técnicas pueden generalizarse a otros diodos de estado sólido .

Modelado de señales grandes

Modelo de diodo Shockley

La ecuación del diodo de Shockley relaciona la corriente del diodo. $I$ de un diodo de unión pn al voltaje del diodo $V_{D}$ Esta relación es la característica I-V del diodo :

I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}-1\right)

,

dónde $I_{S}$ es la corriente de saturación o corriente de escala del diodo (la magnitud de la corriente que fluye para voltajes negativos) $V_{D}$ más de unos pocos $V_{\text{T}}$ (típicamente 10⁻¹² ^A ). La corriente de escala es proporcional al área de la sección transversal del diodo. Continuando con los símbolos: $V_{\text{T}}$ es el voltaje térmico ( $kT/q$ , aproximadamente 26 mV a temperaturas normales),y $n$ se conoce como factor de idealidad del diodo (para diodos de silicio) $n$ es aproximadamente de 1 a 2).

Cuando $V_{D}\gg nV_{\text{T}}$ La fórmula se puede simplificar a:

I\approx I_{S}\cdot e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}

.

Esta expresión, sin embargo, es solo una aproximación de una característica I-V más compleja. Su aplicabilidad es particularmente limitada en el caso de uniones ultradelgadas, para las cuales existen mejores modelos analíticos. ^{[ 2 ]}

Ejemplo de circuito diodo-resistencia

Para ilustrar las complicaciones que entraña el uso de esta ley, consideremos el problema de hallar la tensión a través del diodo de la Figura 1.

Debido a que la corriente que fluye a través del diodo es la misma que la corriente en todo el circuito, podemos establecer otra ecuación. Según las leyes de Kirchhoff , la corriente que fluye en el circuito es

I={\frac {V_{S}-V_{D}}{R}}

.

Estas dos ecuaciones determinan la corriente del diodo y el voltaje del diodo. Para resolver estas dos ecuaciones, podríamos sustituir la corriente. $I$ de la segunda ecuación a la primera ecuación, y luego intenta reorganizar la ecuación resultante para obtener $V_{D}$ en términos de $V_{S}$ . Una dificultad con este método es que la ley del diodo no es lineal. No obstante, una fórmula que expresa $I$ directamente en términos de $V_{S}$ sin involucrar $V_{D}$ se puede obtener utilizando la función W de Lambert , que es la función inversa de $f(w)=we^{w}$ , eso es, $w=W(f)$ Esta solución se analiza a continuación.

Solución explícita

Se puede obtener una expresión explícita para la corriente del diodo en términos de la función W de Lambert (también llamada función Omega). ^{[ 3 ]} A continuación se presenta una guía para estas manipulaciones. Una nueva variable $w$ se presenta como

w={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)

.

Tras las sustituciones $I/I_{S}=e^{V_{D}/nV_{\text{T}}}-1$ :

we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}e^{{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}

y $V_{D}=V_{S}-IR$ :

we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{S}}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {-IR}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {IRI_{S}}{nV_{\text{T}}I_{S}}}e^{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}

La reordenación de la ley del diodo en términos de w se convierte en:

we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}

,

que utiliza el Lambert $W$ -función se convierte en

w=W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}\right)

.

La solución final explícita es

I={\frac {nV_{\text{T}}}{R}}W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}\right)-I_{S}

.

Con las aproximaciones (válidas para los valores más comunes de los parámetros) $I_{s}R\ll V_{S}$ y $I/I_{S}\gg 1$ , esta solución se convierte en

I\approx {\frac {nV_{\text{T}}}{R}}W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}\right)

.

Una vez determinada la corriente, se puede calcular el voltaje del diodo utilizando cualquiera de las otras ecuaciones.

Para x grande, $W(x)$ puede aproximarse mediante $W(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1)$ . Para parámetros físicos y resistencias comunes, ${\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}$ será del orden de 10 ⁴⁰ .

Solución iterativa

El voltaje del diodo $V_{D}$ se puede encontrar en términos de $V_{S}$ para cualquier conjunto particular de valores mediante un método iterativo utilizando una calculadora o computadora. ^{[ 4 ]} La ley del diodo se reordena dividiendo por $I_{S}$ y añadiendo 1. La ley del diodo se convierte en

e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}={\frac {I}{I_{S}}}+1

.

Al tomar logaritmos naturales de ambos lados, se elimina la exponencial y la ecuación se convierte en:

{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)

.

Para cualquier $I$ , esta ecuación determina $V_{D}$ . Sin embargo, $I$ También debe satisfacer la ecuación de la ley de Kirchhoff, dada anteriormente. Esta expresión se sustituye por $I$ para obtener

{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)

,

o

V_{D}=nV_{\text{T}}\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)

.

El voltaje de la fuente $V_{S}$ es un valor dado conocido, pero $V_{D}$ está en ambos lados de la ecuación, lo que obliga a una solución iterativa: un valor inicial para $V_{D}$ se adivina y se coloca en el lado derecho de la ecuación. Al realizar las diversas operaciones en el lado derecho, obtenemos un nuevo valor para $V_{D}$ . Este nuevo valor ahora se sustituye en el lado derecho, y así sucesivamente. Si esta iteración converge los valores de $V_{D}$ se acercan cada vez más a medida que el proceso continúa, y podemos detener la iteración cuando la precisión sea suficiente. Una vez $V_{D}$ se encuentra, $I$ se puede obtener a partir de la ecuación de la ley de Kirchhoff.

A veces, un procedimiento iterativo depende críticamente de la primera suposición. En este ejemplo, casi cualquier primera suposición servirá, por ejemplo: $V_{D}=600\,{\text{mV}}$ A veces, un procedimiento iterativo no converge en absoluto: en este problema, una iteración basada en la función exponencial no converge, y por eso se reordenaron las ecuaciones para usar un logaritmo. Encontrar una formulación iterativa convergente es todo un arte, y cada problema es diferente.

Solución gráfica

El análisis gráfico es una forma sencilla de obtener una solución numérica a las ecuaciones trascendentales que describen el diodo. Como la mayoría de los métodos gráficos, tiene la ventaja de una fácil visualización. Al representar gráficamente las curvas I - V , es posible obtener una solución aproximada con cualquier grado de precisión. Este proceso es el equivalente gráfico de los dos enfoques anteriores, que son más adecuados para su implementación informática.

Este método representa gráficamente las dos ecuaciones de corriente-tensión, y el punto de intersección de ambas curvas satisface ambas ecuaciones, proporcionando así el valor de la corriente que circula por el circuito y la tensión en el diodo. La figura ilustra este método.

Modelo lineal por tramos

En la práctica, el método gráfico es complicado y poco práctico para circuitos complejos. Otro método para modelar un diodo se denomina modelado lineal por tramos (PWL) . En matemáticas, esto significa dividir una función en varios segmentos lineales. Este método se utiliza para aproximar la curva característica del diodo como una serie de segmentos lineales. El diodo real se modela como tres componentes en serie: un diodo ideal, una fuente de tensión y una resistencia .

La figura muestra la curva I-V de un diodo real aproximada mediante un modelo lineal por tramos de dos segmentos. Normalmente, el segmento de línea inclinado se elige tangente a la curva del diodo en el punto Q. La pendiente de esta línea viene dada por el recíproco de la resistencia de pequeña señal del diodo en el punto Q.

diodo matemáticamente idealizado

En primer lugar, consideremos un diodo idealizado matemáticamente. En un diodo ideal de este tipo, si está polarizado inversamente, la corriente que lo atraviesa es cero. Este diodo ideal comienza a conducir a 0 V y, para cualquier voltaje positivo, fluye una corriente infinita, comportándose como un cortocircuito. Las características I-V de un diodo ideal se muestran a continuación:

Diodo ideal en serie con la fuente de tensión.

Ahora consideremos el caso en que agregamos una fuente de voltaje en serie con el diodo en la forma que se muestra a continuación:

Diodo ideal con una fuente de tensión en serie.

Cuando está polarizado en directa, el diodo ideal es simplemente un cortocircuito, y cuando está polarizado en inversa, un circuito abierto.

Si el ánodo del diodo se conecta a 0 V, la tensión en el cátodo será Vt , por lo que el potencial en el cátodo será mayor que el potencial en el ánodo y el diodo estará polarizado inversamente. Para que el diodo conduzca, la tensión en el ánodo deberá alcanzar Vt . Este circuito simula la tensión de activación presente en los diodos reales. La curva I-V combinada de este circuito se muestra a continuación:

El modelo de diodo de Shockley se puede utilizar para predecir el valor aproximado de $V_{t}$ .

{\begin{aligned}&I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}-1\right)\\\Leftrightarrow {}&\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)={\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\\\Leftrightarrow {}&V_{D}=n\cdot V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)\approx n\cdot V_{\text{T}}\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}\right)\\\Leftrightarrow {}&V_{D}\approx n\cdot V_{\text{T}}\cdot \ln {10}\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}\end{aligned}}

Usando $n=1$ y $T=25\,{\text{°C}}$ :

V_{D}\approx 0.05916\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}

Los valores típicos de la corriente de saturación a temperatura ambiente son:

$I_{S}=10^{-12}{\text{A}}$ para diodos de silicio;
$I_{S}=10^{-6}{\text{A}}$ para diodos de germanio.

Como la variación de $V_{D}$ va con el logaritmo de la razón ${\frac {I}{I_{S}}}$ Su valor varía muy poco ante una gran variación de la razón. El uso de logaritmos en base 10 facilita el pensamiento en órdenes de magnitud.

Para una corriente de 1,0 mA:

$V_{D}\approx 0.53\,{\text{V}}$ para diodos de silicio (9 órdenes de magnitud);
$V_{D}\approx 0.18\,{\text{V}}$ para diodos de germanio (3 órdenes de magnitud).

Para una corriente de 100 mA:

$V_{D}\approx 0.65\,{\text{V}}$ para diodos de silicio (11 órdenes de magnitud);
$V_{D}\approx 0.30\,{\text{V}}$ para diodos de germanio (5 órdenes de magnitud).

Los valores de 0,6 o 0,7 voltios se utilizan comúnmente para los diodos de silicio. ^{[ 5 ]}

Diodo con fuente de tensión y resistencia limitadora de corriente.

Lo último que se necesita es una resistencia para limitar la corriente, como se muestra a continuación:

La característica I-V del circuito final tiene este aspecto:

Ahora, el diodo real puede sustituirse por el diodo ideal combinado, la fuente de tensión y la resistencia, y el circuito se modela entonces utilizando únicamente elementos lineales. Si el segmento de línea inclinada es tangente a la curva del diodo real en el punto Q , este circuito aproximado presenta la misma respuesta de pequeña señal en dicho punto que el diodo real.

Diodos PWL duales o modelo PWL de 3 líneas

Cuando se requiere mayor precisión al modelar la característica de activación del diodo, el modelo puede mejorarse duplicando el modelo PWL estándar. Este modelo utiliza dos diodos lineales por tramos en paralelo, lo que permite modelar un solo diodo con mayor precisión.

Modelado de señales pequeñas

Resistencia

Utilizando la ecuación de Shockley, la resistencia del diodo de pequeña señal $r_{D}$ La función del diodo se puede derivar alrededor de algún punto de operación ( punto Q ) donde la corriente de polarización de CC es $I_{Q}$ y la tensión aplicada en el punto Q es $V_{Q}$ . ^{[ 6 ]} Para empezar, la conductancia de pequeña señal del diodo $g_{D}$ se encuentra, es decir, el cambio en la corriente en el diodo causado por un pequeño cambio en el voltaje a través del diodo, dividido por este cambio de voltaje, a saber:

g_{D}=\left.{\frac {dI}{dV}}\right|_{Q}={\frac {I_{s}}{n\cdot V_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\approx {\frac {I_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}

.

Esta última aproximación supone que la corriente de polarización $I_{Q}$ es lo suficientemente grande como para que el factor de 1 entre paréntesis de la ecuación del diodo Shockley pueda ignorarse. Esta aproximación es precisa incluso a voltajes bastante pequeños, debido al voltaje térmico. $V_{\text{T}}\approx 25\,{\text{mV}}$ a 300 K, así que $V_{Q}/V_{\text{T}}$ tiende a ser grande, lo que significa que la exponencial es muy grande.

Observando que la resistencia de pequeña señal $r_{D}$ es el recíproco de la conductancia de pequeña señal que acabamos de encontrar, la resistencia del diodo es independiente de la corriente alterna, pero depende de la corriente continua y se da como

r_{D}={\frac {n\cdot V_{\text{T}}}{I_{Q}}}

.

Capacidad

La carga en el diodo que transporta corriente $I_{Q}$ se sabe que es

Q=I_{Q}\tau _{F}+Q_{J}

,

dónde $\tau _{F}$ es el tiempo de tránsito directo de los portadores de carga: ^{[ 6 ]} El primer término en la carga es la carga en tránsito a través del diodo cuando la corriente $I_{Q}$ El segundo término representa la carga almacenada en la unión misma cuando se considera como un simple capacitor ; es decir, como un par de electrodos con cargas opuestas. Se trata de la carga almacenada en el diodo simplemente por tener una tensión aplicada, independientemente de la corriente que conduzca.

De forma similar a como se indicó anteriormente, la capacitancia del diodo es el cambio en la carga del diodo con respecto al voltaje del diodo:

C_{D}={\frac {dQ}{dV_{Q}}}={\frac {dI_{Q}}{dV_{Q}}}\tau _{F}+{\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}\approx {\frac {I_{Q}}{V_{\text{T}}}}\tau _{F}+C_{J}

,

dónde $C_{J}={\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}$ es la capacitancia de la unión y el primer término se llama capacitancia de difusión , porque está relacionado con la corriente que se difunde a través de la unión.

Variación de la tensión directa con la temperatura

La ecuación del diodo Shockley tiene una exponencial de $V_{D}/(kT/q)$ lo que llevaría a esperar que la tensión directa aumente con la temperatura. De hecho, generalmente no es así: a medida que aumenta la temperatura, la corriente de saturación $I_{S}$ aumenta, y este efecto predomina. Por lo tanto, a medida que el diodo se calienta , el voltaje directo (para una corriente dada) disminuye .

Aquí se presentan algunos datos experimentales detallados ^{[ 7 ]} que demuestran esto para un diodo de silicio 1N4005. De hecho, algunos diodos de silicio se utilizan como sensores de temperatura; por ejemplo, la serie CY7 de OMEGA tiene una tensión directa de 1,02 V en nitrógeno líquido (77 K), 0,54 V a temperatura ambiente y 0,29 V a 100 °C ^{[ 8 ] .}

Además, se observa una ligera variación en la banda prohibida del material con la temperatura. En el caso de los LED, este cambio en la banda prohibida también modifica su color: al enfriarse, se desplazan hacia el extremo azul del espectro.

Dado que la tensión directa del diodo disminuye a medida que aumenta su temperatura, esto puede provocar un desbordamiento térmico debido a la captación excesiva de corriente cuando se conectan en paralelo en circuitos de transistores bipolares (ya que la unión base-emisor de un BJT actúa como un diodo), donde una reducción en la tensión directa base-emisor conlleva un aumento en la disipación de potencia del colector, lo que a su vez reduce aún más la tensión directa base-emisor requerida.

Véase también

Referencias

↑ B. Van Zeghbroeck (2011). "Uniones pn: características IV de diodos pn reales" . Archivado del original el 15 de junio de 2021. Consultado el 2 de noviembre de 2020 .
↑ . Popadic, Miloš; Lorito, Gianpaolo; Nanver, Lis K. (2009). "Modelo analítico de las características I-V de uniones pn arbitrariamente superficiales" . IEEE Transactions on Electron Devices . 56 (1): 116– 125. Bibcode : 2009ITED...56..116P . doi : 10.1109/TED.2008.2009028 .
↑ Banwell, TC; Jayakumar, A. (2000). "Solución analítica exacta para el flujo de corriente a través de un diodo con resistencia en serie". Electronics Letters . 36 (4): 291. Bibcode : 2000ElL....36..291B . doi : 10.1049/el:20000301 .
↑ . AS Sedra y KC Smith (2004). Circuitos microelectrónicos (Quinta ed.). Nueva York: Oxford. Ejemplo 3.4 pág. 154. ISBN 978-0-19-514251-8.
↑ Kal, Santiram (2004). "Capítulo 2". Electrónica básica: Dispositivos, circuitos y fundamentos de TI (Sección 2.5: Modelo de circuito de un diodo de unión PN ). Prentice-Hall of India Pvt.Ltd. ISBN 978-81-203-1952-3.
1 2 R.C. Jaeger y TN Blalock (2004). Diseño de circuitos microelectrónicos (segunda edición). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-232099-2.
↑ "Voltaje directo de la familia de diodos 1n400x" . www.cliftonlaboratories.com . Clifton Laboratories. 14 de abril de 2009. Consultado el 10 de febrero de 2019 .{{cite web}}: CS1 maint: servicio de archivado obsoleto ( enlace )
↑ http://www.omega.com/Temperature/pdf/CY7.pdf hoja de datos

[1] B. Van Zeghbroeck (2011). "Uniones pn: características IV de diodos pn reales" . Archivado del original el 15 de junio de 2021. Consultado el 2 de noviembre de 2020 .

[Popadic-2] . Popadic, Miloš; Lorito, Gianpaolo; Nanver, Lis K. (2009). "Modelo analítico de las características I-V de uniones pn arbitrariamente superficiales" . IEEE Transactions on Electron Devices . 56 (1): 116– 125. Bibcode : 2009ITED...56..116P . doi : 10.1109/TED.2008.2009028 .

[3] Banwell, TC; Jayakumar, A. (2000). "Solución analítica exacta para el flujo de corriente a través de un diodo con resistencia en serie". Electronics Letters . 36 (4): 291. Bibcode : 2000ElL....36..291B . doi : 10.1049/el:20000301 .

[Sedra2-4] . AS Sedra y KC Smith (2004). Circuitos microelectrónicos (Quinta ed.). Nueva York: Oxford. Ejemplo 3.4 pág. 154. ISBN 978-0-19-514251-8.

[Kal-5] Kal, Santiram (2004). "Capítulo 2". Electrónica básica: Dispositivos, circuitos y fundamentos de TI (Sección 2.5: Modelo de circuito de un diodo de unión PN ). Prentice-Hall of India Pvt.Ltd. ISBN 978-81-203-1952-3.

[jaeger-6] 1 2 R.C. Jaeger y TN Blalock (2004). Diseño de circuitos microelectrónicos (segunda edición). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-232099-2.

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[8] ttp://www.omega.com/Temperature/pdf/CY7.pdf hoja de datos

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