Identidad hipergeométrica

En matemáticas , las identidades hipergeométricas son igualdades que involucran sumas sobre términos hipergeométricos, es decir, los coeficientes que aparecen en series hipergeométricas . Estas identidades aparecen con frecuencia en soluciones de problemas combinatorios y también en el análisis de algoritmos .

Estas identidades se hallaban tradicionalmente "a mano". Actualmente existen varios algoritmos que pueden hallar y demostrar todas las identidades hipergeométricas.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{n \choose k}=n2^{n-1}}$

${\displaystyle \sum _{i=n}^{N}i{i \choose n}=(n+1){N+2 \choose n+2}-{N+1 \choose n+1}}$

Existen dos definiciones de términos hipergeométricos, ambas utilizadas en casos diferentes, como se explica a continuación. Véase también series hipergeométricas .

Un término t _k es un término hipergeométrico si

${\displaystyle {\frac {t_{k+1}}{t_{k}}}}$

es una función racional en k .

Un término F(n,k) es un término hipergeométrico si

${\displaystyle {\frac {F(n,k+1)}{F(n,k)}}}$

es una función racional en k .

Existen dos tipos de sumas sobre términos hipergeométricos: las sumas definidas y las indefinidas. Una suma definida tiene la forma

${\displaystyle \sum _{k}t_{k}.}$

La suma indefinida es de la forma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F(n,k).}$

Si bien en el pasado se han encontrado pruebas para muchas identidades específicas, existen varios algoritmos generales para hallar y demostrar identidades. Estos algoritmos primero encuentran una expresión simple para una suma sobre términos hipergeométricos y luego proporcionan un certificado que cualquiera puede usar para verificar y demostrar la veracidad de la identidad.

Para cada uno de los tipos de suma hipergeométrica existen uno o más métodos para encontrar una expresión simple . Estos métodos también proporcionan el certificado para verificar la prueba de identidad:

• Sumas definidas : Método de la hermana Celine , algoritmo de Zeilberger
• Sumas indefinidas : el algoritmo de Gosper

El libro A = B, de Marko Petkovšek , Herbert Wilf y Doron Zeilberger, describe los tres enfoques principales mencionados anteriormente.

• Tabla de series newtonianas

• El libro "A = B" se puede descargar gratuitamente de Internet.
• Ejemplos de funciones especiales en exampleproblems.com