Hiperfactorial

En matemáticas , y más específicamente en teoría de números , el hiperfactorial de un entero positivo es el producto de los números de la forma de a .${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización x^{x}}$${\estilo de visualización 1^{1}}$${\estilo de visualización n^{n}}$

El hiperfactorial de un entero positivo es el producto de los números . Es decir, ^{[1] [2]} Siguiendo la convención habitual para el producto vacío , el hiperfactorial de 0 es 1. La secuencia de hiperfactoriales, comenzando con , es: ^[1]${\estilo de visualización n}$${\displaystyle 1^{1},2^{2},\puntos ,n^{n}}$ $${\displaystyle H(n)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot \cdots n^{n}=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=n^{n}H(n-1).}$$${\displaystyle H(0)=1}$

Los hiperfactoriales fueron estudiados a principios del siglo XIX por Hermann Kinkelin ^{[3] [4]} y James Whitbread Lee Glaisher ^{[5] [4]} Como demostró Kinkelin, así como los factoriales pueden ser interpolados continuamente por la función gamma , los hiperfactoriales pueden ser interpolados continuamente por la función K. ^[3 ]

Glaisher proporcionó una fórmula asintótica para los hiperfactoriales, análoga a la fórmula de Stirling para los factoriales: donde es la constante de Glaisher-Kinkelin . ^{[2] [5]}$${\displaystyle H(n)=An^{(6n^{2}+6n+1)/12}e^{-n^{2}/4}\left(1+{\frac {1}{720n^{2}}}-{\frac {1433}{7257600n^{4}}}+\cdots \right)\!,}$$${\displaystyle A\aproximadamente 1,28243}$

De acuerdo con un análogo del teorema de Wilson sobre el comportamiento de los factoriales módulo números primos , cuando es un número primo impar donde es la notación para el factorial doble . ^[4]${\estilo de visualización p}$$${\displaystyle H(p-1)\equiv (-1)^{(p-1)/2}(p-1)!!{\pmod {p}},}$$${\estilo de visualización !!}$

Los hiperfactoriales dan la secuencia de discriminantes de los polinomios de Hermite en su formulación probabilística. ^[1]

• Weisstein, Eric W. , "Hiperfactorial", MathWorld