Hipercono

En geometría , un hipercono (o cono esférico ) es la figura en el espacio euclidiano de 4 dimensiones representada por la ecuación

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}=0.}$

Es una superficie cuadrática , y es una de las posibles variedades de 3 dimensiones que son equivalentes de 4 dimensiones de la superficie cónica en 3 dimensiones. También se le llama "cono esférico" porque sus intersecciones con hiperplanos perpendiculares al eje w son esferas . Un hipercono recto de cuatro dimensiones puede considerarse como una esfera que se expande con el tiempo, comenzando su expansión desde una única fuente puntual, de modo que el centro de la esfera en expansión permanece fijo. Un hipercono oblicuo sería una esfera que se expande con el tiempo, comenzando nuevamente su expansión desde una fuente puntual, pero de modo que el centro de la esfera en expansión se mueve con una velocidad uniforme.

Un hipercono esférico recto se puede describir mediante la función

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=(ts\cos \theta \cos \phi ,ts\cos \theta \sin \phi ,ts\sin \theta ,t)}$

con vértice en el origen y velocidad de expansión s .

Un hipercono esférico recto con radio r y altura h se puede describir mediante la función

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=\left(t\cos \phi \sin \theta ,t\sin \phi \sin \theta ,t\cos \theta ,{\frac {h}{r}}t\right)}$

Un hipercono esférico oblicuo podría entonces describirse mediante la función

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=(v_{x}t+ts\cos \theta \cos \phi ,v_{y}t+ts\cos \theta \sin \phi ,v_{z}t+ts\sin \theta ,t)}$

donde es la velocidad 3 del centro de la esfera en expansión. Un ejemplo de un cono de este tipo sería una onda sonora en expansión vista desde el punto de vista de un sistema de referencia en movimiento: por ejemplo, la onda sonora de un avión a reacción vista desde el propio sistema de referencia del avión. ${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$

Nótese que las superficies 3D anteriores encierran hipervolúmenes 4D , que son los 4 conos propiamente dichos.

El cono esférico consta de dos mantos no acotados que se encuentran en el origen y son análogos a los mantos de la superficie cónica tridimensional. El manto superior corresponde a la mitad con coordenadas w positivas y el manto inferior corresponde a la mitad con coordenadas w negativas .

Si está restringido entre los hiperplanos w  = 0 y w  =  r para algún r distinto de cero , entonces puede estar cerrado por una 3-bola de radio r , centrada en (0,0,0, r ), de modo que acote un volumen finito de 4 dimensiones. Este volumen está dado por la fórmula ⁠1/3⁠ π r ⁴ , y es el equivalente en cuatro dimensiones del cono sólido . La bola puede considerarse como la "tapa" en la base de la napa del cono de cuatro dimensiones, y el origen se convierte en su "vértice".

Esta forma puede proyectarse en el espacio tridimensional de varias maneras. Si se proyecta sobre el hiperplano xyz , su imagen es una pelota . Si se proyecta sobre los hiperplanos xyw , xzw o yzw , su imagen es un cono sólido . Si se proyecta sobre un hiperplano oblicuo, su imagen es un elipsoide o un cono sólido con una base elipsoidal (parecido a un cono de helado ). Estas imágenes son análogas a las posibles imágenes del cono sólido proyectado en dos dimensiones.

El (semi) hipercono puede construirse de manera análoga a la construcción de un cono 3D. Un cono 3D puede considerarse como el resultado de apilar discos progresivamente más pequeños uno sobre otro hasta que se estrechan hasta formar una punta. Alternativamente, un cono 3D puede considerarse como el volumen barrido por un triángulo isósceles vertical a medida que gira sobre su base.

Un hipercono 4D se puede construir de manera análoga: apilando bolas progresivamente más pequeñas una sobre otra en la cuarta dirección hasta que se estrechan hasta formar un punto, o tomando el hipervolumen barrido por un tetraedro colocado en posición vertical en la cuarta dirección mientras gira libremente alrededor de su base en el hiperplano 3D sobre el que descansa.

El hipervolumen de una pirámide y un cono de cuatro dimensiones es

${\displaystyle H={\frac {1}{4}}Vh}$

donde V es el volumen de la base y h es la altura (la distancia entre el centro de la base y el vértice). Para un cono esférico con un volumen de base de , el hipervolumen es ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

${\displaystyle H={\frac {1}{4}}Vh={\frac {1}{4}}\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right)h={\frac {1}{3}}\pi r^{3}h}$

El volumen de la superficie lateral de un cono esférico recto es donde es el radio de la base esférica y es la altura oblicua del cono (la distancia entre la superficie 2D de la esfera y el vértice). El volumen de la superficie de la base esférica es el mismo que el de cualquier esfera, . Por lo tanto, el volumen de la superficie total de un cono esférico recto se puede expresar de las siguientes maneras: ${\textstyle LSV={\frac {4}{3}}\pi r^{2}l}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización l}$${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

• Radio y altura

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

(el volumen de la base más el volumen de la superficie lateral 3D; el término es la altura inclinada) ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

donde es el radio y es la altura.${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización h}$

• Radio y altura de inclinación

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}l}$

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+l\right)}$

donde es el radio y es la altura inclinada.${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$

• Área de superficie, radio y altura de inclinación

${\displaystyle {\frac {1}{3}}Ar+{\frac {1}{3}}Al}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}A\left(r+l\right)}$

donde es el área de la superficie de la base, es el radio y es la altura inclinada.${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$

Si la coordenada w de la ecuación del cono esférico se interpreta como la distancia ct , donde t es la coordenada tiempo y c es la velocidad de la luz (una constante), entonces es la forma del cono de luz en la relatividad especial . En este caso, la ecuación suele escribirse como:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}=0,}$

que es también la ecuación para frentes de onda esféricos de luz. ^[1] La capa superior es entonces el cono de luz futuro y la capa inferior es el cono de luz pasado . ^[2]

• 3-esfera
• Hipercubo
• Hiperplano
• Hipersuperficie
• Colector
• Cono de luz