Teorema de hiperbolización

En geometría , el teorema de geometrización de Thurston o teorema de hiperbolización implica que las variedades de Haken atoroidales cerradas son hiperbólicas y, en particular, satisfacen la conjetura de Thurston .

Una forma del teorema de hiperbolización establece: Si M es una variedad de Haken atoroidal compacta e irreducible cuyo límite tiene característica de Euler cero , entonces el interior de M tiene una estructura hiperbólica completa de volumen finito.

El teorema de rigidez de Mostow implica que si una variedad de dimensión al menos 3 tiene una estructura hiperbólica de volumen finito, entonces es esencialmente única.

Las condiciones de que la variedad M sea irreducible y atoroidal son necesarias, ya que las variedades hiperbólicas poseen estas propiedades. Sin embargo, la condición de que la variedad sea de Haken es innecesariamente restrictiva. La conjetura de hiperbolización de Thurston afirma que una 3-variedad atoroidal irreducible cerrada con grupo fundamental infinito es hiperbólica, lo cual se deduce de la demostración de Perelman de la conjetura de geometrización de Thurston.

Thurston (1982 , 2.3) demostró que si una variedad compacta 3 es prima, homotópicamente atoroidal y tiene frontera no vacía, entonces tiene una estructura hiperbólica completa a menos que sea homeomorfa a una cierta variedad ( T ² ×[0,1])/ Z /2 Z con frontera T ² .

Una estructura hiperbólica en el interior de una 3-variedad compacta orientable tiene volumen finito si y solo si todos los componentes del borde son toros, excepto para la variedad T ² ×[0,1] que tiene una estructura hiperbólica pero ninguno de volumen finito ( Thurston 1982 , p. 359) . 

Thurston nunca publicó una demostración completa de su teorema por razones que explicó en ( Thurston 1994 ) , aunque partes de su argumento están contenidas en Thurston ( 1986 , 1998a , 1998b ) . Wall (1984) y Morgan (1984) dieron resúmenes de la demostración de Thurston. Otal (1996) dio una demostración en el caso de variedades que se fibran sobre el círculo, y Otal (1998) y Kapovich (2009) dieron demostraciones para el caso genérico de variedades que no se fibran sobre el círculo. El teorema de geometrización de Thurston también se deduce de la demostración de Perelman usando el flujo de Ricci de la conjetura de geometrización de Thurston más general . 

El argumento original de Thurston para este caso fue resumido por Sullivan (1981) . Otal (1996) dio una demostración en el caso de variedades que se fibran sobre el círculo.

El teorema de geometrización de Thurston en este caso especial establece que si M es una 3-variedad que se fibra sobre el círculo y cuya monodromía es un difeomorfismo pseudo-Anosov , entonces el interior de M tiene una métrica hiperbólica completa de volumen finito.

Otal (1998) y Kapovich (2009) dieron demostraciones del teorema de Thurston para el caso genérico de variedades que no se fibran sobre el círculo.

La idea de la demostración es cortar una variedad de Haken M a lo largo de una superficie incompresible para obtener una nueva variedad N. Por inducción, se supone que el interior de N tiene una estructura hiperbólica, y el problema consiste en modificarla para que pueda extenderse hasta el borde de N y unirse. Thurston demostró que esto se deduce de la existencia de un punto fijo para una aplicación del espacio de Teichmüller llamada aplicación de despojamiento . El núcleo de la demostración del teorema de geometrización es probar que si N no es un fibrado de intervalos sobre una superficie y M es un atoroidal, entonces la aplicación de despojamiento tiene un punto fijo. (Si N es un fibrado de intervalos, entonces la aplicación de despojamiento no tiene un punto fijo, razón por la cual se necesita un argumento aparte cuando M se fibra sobre el círculo). McMullen (1990) dio una nueva demostración de la existencia de un punto fijo de la aplicación de despojamiento.

• Kapovich, Michael (2009) [2001], Hyperbolic manifolds and discrete groups , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5 , ISBN 978-0-8176-4912-8, MR 1792613 
• McMullen, C. (1990), "Iteración en el espacio de Teichmüller", Inventiones Mathematicae , 99 (2): 425– 454, Bibcode : 1990InMat..99..425M , CiteSeerX 10.1.1.39.2226 , doi : 10.1007/BF01234427 , MR 1031909 , S2CID 122626150   
• Morgan, John W. (1984), "Sobre el teorema de uniformización de Thurston para variedades tridimensionales" , en Morgan, John W.; Bass, Hyman (eds.), La conjetura de Smith (Nueva York, 1979) , Pure Appl. Math., vol.  112, Boston, MA: Academic Press , pp. 37–125 , ISBN  978-0-12-506980-9, MR 0758464 
• Otal, Jean-Pierre (1996), "Le théorème d'hyperbolisation pour les variétés fibrées de dimension 3", Astérisque (235), SEÑOR 1402300 Traducido al inglés como Otal, Jean-Pierre (2001) [1996], Kay, Leslie D. (ed.), The hyperbolization theorem for fibered 3-manifolds , SMF/AMS Texts and Monographs, vol. 7, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN  978-0-8218-2153-4, MR 1855976 
• Otal, Jean-Pierre (1998), "Hiperbolización de Thurston de las variedades de Haken" , en Hsiung, C.-C.; Yau, Shing-Tung (eds.), Surveys in differential geometry, Vol. III (Cambridge, MA, 1996) , Int. Press, Boston, MA, pp. 77–194 , ISBN  978-1-57146-067-7, MR 1677888 , archivado del original el 6 de enero de 2011 
• Sullivan, Dennis (1981), "Travaux de Thurston sur les groupes quasi-fuchsiens et les variétés hyperboliques de dimension 3 fibrées sur S ¹ " , Seminario Bourbaki, vol. 1979/80 , Apuntes de conferencias sobre matemáticas, vol.  842, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 196–214 , doi : 10.1007/BFb0089935 , ISBN  978-3-540-10292-2, MR 0636524 
• Thurston, William P. (1982), "Variedades tridimensionales, grupos kleinianos y geometría hiperbólica", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva Serie, 6 (3): 357– 381, doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 , MR 0648524 Esto proporciona el enunciado original de la conjetura.
• Thurston, William P. (1986), "Estructuras hiperbólicas en 3-variedades. I. Deformación de variedades acilíndricas", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 124 (2): 203– 246, arXiv : math/9801019 , doi : 10.2307/1971277 , JSTOR 1971277 , MR 0855294 , S2CID 14114726   
• Thurston, William P. (1994), "Sobre la demostración y el progreso en matemáticas", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva Serie, 30 (2): 161– 177, arXiv : math/9404236 , doi : 10.1090/S0273-0979-1994-00502-6 , MR 1249357 
• Thurston, William P. (1998a) [1986], Estructuras hiperbólicas en 3-variedades, II: Grupos de superficies y 3-variedades que se ramifican sobre el círculo , arXiv : math/9801045 , Bibcode : 1998math......1045T
• Thurston, William P. (1998b) [1986], Estructuras hiperbólicas en 3-variedades, III: Deformaciones de 3-variedades con frontera incompresible , arXiv : math/9801058 , Bibcode : 1998math......1058T
• Wall, CTC (1984), «Sobre la obra de W. Thurston» , en Ciesielski, Zbigniew; Olech, Czesław (eds.), Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. 1 (Varsovia, 1983) , Varsovia: PWN, pp. 11–14 , ISBN  978-83-01-05523-3, MR 0804672 

• Kapovich, M., Teorema de geometrización (PDF)