ecuación diferencial parcial hiperbólica

En matemáticas , una ecuación diferencial parcial hiperbólica de orden es una ecuación diferencial parcial (EDP) que, en términos generales, tiene un problema de valor inicial bien planteado para las primeras derivadas. Más precisamente, el problema de Cauchy puede resolverse localmente para datos iniciales arbitrarios a lo largo de cualquier hipersuperficie no característica . Muchas de las ecuaciones de la mecánica son hiperbólicas, por lo que el estudio de las ecuaciones hiperbólicas es de considerable interés contemporáneo. La ecuación hiperbólica modelo es la ecuación de onda . En una dimensión espacial, esta es La ecuación tiene la propiedad de que, si u y su primera derivada temporal son datos iniciales especificados arbitrariamente en la línea t = 0 (con propiedades de suavidad suficientes), entonces existe una solución para todo tiempo t . ${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$

Las soluciones de las ecuaciones hiperbólicas tienen un comportamiento ondulatorio. Si se introduce una perturbación en los datos iniciales de una ecuación diferencial hiperbólica, no todos los puntos del espacio la experimentan simultáneamente. Con respecto a una coordenada temporal fija, las perturbaciones tienen una velocidad de propagación finita . Se propagan siguiendo las características de la ecuación. Esta característica distingue cualitativamente las ecuaciones hiperbólicas de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas . Una perturbación en los datos iniciales (o de contorno) de una ecuación elíptica o parabólica afecta prácticamente a todos los puntos del dominio de forma inmediata.

Aunque la definición de hiperbolicidad es fundamentalmente cualitativa, existen criterios precisos que dependen del tipo particular de ecuación diferencial que se esté considerando. Existe una teoría bien desarrollada para operadores diferenciales lineales , debida a Lars Gårding , en el contexto del análisis microlocal . Las ecuaciones diferenciales no lineales son hiperbólicas si sus linealizaciones son hiperbólicas en el sentido de Gårding. Existe una teoría algo diferente para sistemas de ecuaciones de primer orden que provienen de sistemas de leyes de conservación .

Una ecuación diferencial parcial es hiperbólica en un punto siempre que el problema de Cauchy sea resoluble de forma única en un entorno de para cualquier dato inicial dado en una hipersuperficie no característica que pasa por . ^{[ 1 ]} Aquí, los datos iniciales prescritos consisten en todas las derivadas (transversales) de la función en la superficie hasta un orden menor que el de la ecuación diferencial. ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

Mediante un cambio lineal de variables, cualquier ecuación de la forma con discriminante puede transformarse en la ecuación de onda , salvo los términos de orden inferior que no son esenciales para la comprensión cualitativa de la ecuación. ^{[ 2 ] : 400} Esta definición es análoga a la definición de una hipérbola plana . $${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(términos de derivada de orden inferior)}}=0}$$$${\displaystyle B^{2}-AC>0}$$

La ecuación de onda unidimensional es un ejemplo de ecuación hiperbólica. Las ecuaciones de onda bidimensionales y tridimensionales también pertenecen a la categoría de EDP hiperbólicas. Este tipo de ecuación diferencial parcial hiperbólica de segundo orden puede transformarse en un sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales de primer orden. ^{[ 2 ] : 402} $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$$

El siguiente es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para funciones desconocidas , , donde :${\displaystyle s}$${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

donde son funciones que una vez son continuamente diferenciables , no lineales en general. ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s})}$

A continuación, para cada uno, defina la matriz jacobiana.${\displaystyle {\vec {f}}^{j}}$${\displaystyle s\times s}$$${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$$

El sistema ( ∗ ) es hiperbólico si para todo la matriz tiene solo valores propios reales y es diagonalizable . ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$

Si la matriz tiene s autovalores reales distintos , se deduce que es diagonalizable. En este caso, el sistema ( ∗ ) se denomina estrictamente hiperbólico . ${\displaystyle A}$

Si la matriz es simétrica, se deduce que es diagonalizable y que los valores propios son reales. En este caso, el sistema ( ∗ ) se denomina hiperbólico simétrico . ${\displaystyle A}$

Existe una conexión entre un sistema hiperbólico y una ley de conservación . Consideremos un sistema hiperbólico de una ecuación diferencial parcial para una función desconocida . Entonces el sistema ( ∗ ) tiene la forma ${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$

Aquí, puede interpretarse como una cantidad que se mueve según el flujo dado por . Para ver que la cantidad se conserva, integre ( ∗∗ ) sobre un dominio${\displaystyle u}$${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$$${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$$

Si y son funciones suficientemente suaves, podemos usar el teorema de la divergencia y cambiar el orden de la integración y para obtener una ley de conservación para la cantidad en la forma general que significa que la tasa de cambio temporal de en el dominio es igual al flujo neto de a través de su frontera . Dado que esto es una igualdad, se puede concluir que se conserva dentro de . ${\displaystyle u}$${\displaystyle {\vec {f}}}$${\displaystyle \partial /\partial t}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$

• ecuación diferencial parcial elíptica
• operador hipoelíptico
• ecuación diferencial parcial parabólica

• AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

• "Ecuación diferencial parcial hiperbólica, métodos numéricos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones hiperbólicas lineales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones hiperbólicas no lineales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.