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Articulo de referencia

Aproximación de Komlós-Major-Tusnády

En teoría de la probabilidad , la aproximación de Komlós-Major-Tusnády (también conocida como aproximación KMT , incrustación KMT o incrustación húngara ) se refiere a uno de lo...

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En teoría de la probabilidad , la aproximación de Komlós-Major-Tusnády (también conocida como aproximación KMT , incrustación KMT o incrustación húngara ) se refiere a uno de los dos teoremas de incrustación fuertes : 1) la aproximación de una caminata aleatoria mediante un movimiento browniano estándar construido en el mismo espacio de probabilidad , y 2) la aproximación de un proceso empírico mediante un puente browniano construido en el mismo espacio de probabilidad . Recibe su nombre de los matemáticos húngaros János Komlós , Gábor Tusnády y Péter Major , quienes la demostraron en 1975.

Teoría

DejarU1,U2,…{\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }Sean variables aleatorias uniformes (0,1) independientes . Defina una función de distribución empírica uniforme como

FU,norte(t)=1norte∑i=1norte1Ui≤t,t∈[0,1].{\displaystyle F_{U,n}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{U_{i}\leq t},\quad t\in [0,1].}

Defina un proceso empírico uniforme como

αU,norte(t)=norte(FU,norte(t)−t),t∈[0,1].{\displaystyle \alpha _{U,n}(t)={\sqrt {n}}(F_{U,n}(t)-t),\quad t\in [0,1].}

El teorema de Donsker (1952) demuestra queαU,norte(t){\displaystyle \alpha _{U,n}(t)}converge en ley a un puente brownianoB(t).{\displaystyle B(t).}Komlós, Major y Tusnády establecieron un límite preciso para la velocidad de esta convergencia débil.

Teorema (KMT, 1975) En un espacio de probabilidad adecuado para variables aleatorias independientes uniformes (0,1)U1,U2…{\displaystyle U_{1},U_{2}\ldots }el proceso empírico{αU,norte(t),0≤t≤1}{\displaystyle \{\alpha _{U,n}(t),0\leq t\leq 1\}}puede aproximarse mediante una secuencia de puentes brownianos{Bnorte(t),0≤t≤1}{\displaystyle \{B_{n}(t),0\leq t\leq 1\}}de tal manera que
PAG{sorber0≤t≤1|αU,norte(t)−Bnorte(t)|>1norte(aregistro⁡norte+incógnita)}≤bmi−doincógnita{\displaystyle P\left\{\sup _{0\leq t\leq 1}|\alpha _{U,n}(t)-B_{n}(t)|>{\frac {1}{\sqrt {n}}}(a\log n+x)\right\}\leq be^{-cx}}
para todos los enteros positivos n y todosincógnita>0{\displaystyle x>0}donde a , b y c son constantes positivas.

Corolario

Un corolario de ese teorema es que para cualquier variable aleatoria real independiente e idénticamente distribuidaincógnita1,incógnita2,…,{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,}con cdfF(t),{\displaystyle F(t),}es posible construir un espacio de probabilidad donde secuencias independientes de procesos empíricosαincógnita,norte(t)=norte(Fincógnita,norte(t)−F(t)){\displaystyle \alpha _{X,n}(t)={\sqrt {n}}(F_{X,n}(t)-F(t))}y procesos gaussianosGRAMOF,norte(t)=Bnorte(F(t)){\displaystyle G_{F,n}(t)=B_{n}(F(t))}existen tales que

límite superiornorte→∞norteln⁡norte‖αincógnita,norte−GRAMOF,norte‖∞<∞,{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{\ln n}}{\big \|}\alpha _{X,n}-G_{F,n}{\big \|}_{\infty }<\infty ,}    casi con seguridad .

Referencias

  • Komlos, J., Major, P. y Tusnady, G. (1975) Una aproximación de sumas parciales de variables aleatorias independientes y los grados de libertad de la muestra. I, Wahrsch verw Gebiete/Probability Theory and Related Fields , 32, 111–131. doi : 10.1007/BF00533093
  • Komlos, J., Major, P. y Tusnady, G. (1976) Una aproximación de sumas parciales de variables aleatorias independientes y los grados de libertad de la muestra. II, Wahrsch verw Gebiete/Probability Theory and Related Fields , 34, 33–58. doi : 10.1007/BF00532688