Álgebra de Lie homotópica

Un álgebra de Lie homotópica en un espacio vectorial graduado${\displaystyle V=\bigoplus V_ {i}}$es una derivación continua,${\displaystyle m}$, de orden${\displaystyle >1}$que se anula al cuadrado en la variedad formal${\displaystyle {\hat {S}}\Sigma V^{*}}$. Aquí${\displaystyle {\hat {S}}}$es el álgebra simétrica completa ,${\displaystyle \Sigma }$es la suspensión de un espacio vectorial graduado, y${\displaystyle V^{*}}$denota el dual lineal. Típicamente se describe${\displaystyle (V,m)}$como el álgebra de Lie homotópica y${\displaystyle {\hat {S}}\Sigma V^{*}}$con el diferencial${\displaystyle m}$ya que representa el álgebra diferencial graduada conmutativa.

Utilizando esta definición de álgebra de Lie homotópica, se define un morfismo de álgebras de Lie homotópicas,${\displaystyle f\colon (V,m_{V})\to (W,m_{W})}$, como un morfismo${\displaystyle f\colon {\hat {S}}\Sigma V^{*}\to {\hat {S}}\Sigma W^{*}}$de sus álgebras graduadas diferenciales conmutativas representativas que conmutan con el campo vectorial , es decir,${\displaystyle f\circ m_{V}=m_{W}\circ f}$. Las álgebras de Lie homotópicas y sus morfismos definen una categoría .

La definición más tradicional de un álgebra de Lie homotópica se basa en una colección infinita de aplicaciones multilineales simétricas, a la que a veces se hace referencia como la definición mediante corchetes superiores. Cabe señalar que ambas definiciones son equivalentes.

Un álgebra de Lie homotópica ^{[ 3 ]} en un espacio vectorial graduado${\displaystyle V=\bigoplus V_{i}}$es una colección de mapas multilineales simétricos${\displaystyle l_{n}\colon V^{\otimes n}\to V}$de grado${\displaystyle n-2}$, a veces llamado el${\displaystyle n}$corchete -ario, para cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$Además, los mapas${\displaystyle l_{n}}$Satisfacer la identidad de Jacobi generalizada:

${\displaystyle \sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \mathrm {UnShuff} (i,n-i)}\chi (\sigma ,v_{1},\dots ,v_{n})(-1)^{i(j-1)}l_{j}(l_{i}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (i)}),v_{\sigma (i+1)},\dots ,v_{\sigma (n)})=0,}$

para cada n. Aquí la suma interna se extiende sobre${\displaystyle (i,j)}$-desbaraja y${\displaystyle \chi }$es la firma de la permutación. La fórmula anterior tiene interpretaciones significativas para valores bajos de${\displaystyle n}$; por ejemplo, cuando${\displaystyle n=1}$está diciendo que${\displaystyle l_{1}}$cuadrados a cero (es decir, es un diferencial en${\displaystyle V}$), cuando${\displaystyle n=2}$está diciendo que${\displaystyle l_{1}}$es una derivación de${\displaystyle l_{2}}$y cuando${\displaystyle n=3}$está diciendo que${\displaystyle l_{2}}$satisface la identidad de Jacobi hasta un término exacto de${\displaystyle l_{3}}$(es decir, cumple con la homotopía). Nótese que cuando los corchetes superiores${\displaystyle l_{n}}$para${\displaystyle n\geq 3}$desaparecer, la definición de un álgebra de Lie graduada diferencial en${\displaystyle V}$se recupera.

Utilizando el enfoque a través de mapas multilineales, un morfismo de álgebras de Lie homotópicas puede definirse mediante una colección de mapas multilineales simétricos.${\displaystyle f_{n}\colon V^{\otimes n}\to W}$que cumplen ciertas condiciones.

También existe una definición más abstracta de un álgebra de homotopía utilizando la teoría de las operadas : es decir, un álgebra de Lie de homotopía es un álgebra sobre una operada en la categoría de complejos de cadena sobre la${\displaystyle L_{\infty }}$operada.

Una de las clases de ejemplos accesibles${\displaystyle L_{\infty }}$Las álgebras provienen de la incrustación de álgebras de Lie graduadas diferenciales en la categoría de${\displaystyle L_{\infty }}$-álgebras. Esto se puede describir mediante${\displaystyle l_{1}}$dando la derivación,${\displaystyle l_{2}}$la estructura del álgebra de Lie y${\displaystyle l_{k}=0}$para el resto de los mapas.

Inventar ejemplos sencillos con el fin de estudiar la naturaleza de${\displaystyle L_{\infty }}$-álgebras es un problema complejo. Por ejemplo, ^{[ 5 ]} dado un espacio vectorial graduado${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}}$dónde${\displaystyle V_{0}}$tiene base dada por el vector${\displaystyle w}$y${\displaystyle V_{1}}$tiene la base dada por los vectores${\displaystyle v_{1},v_{2}}$, hay un${\displaystyle L_{\infty }}$-estructura algebraica dada por las siguientes reglas

${\displaystyle {\begin{aligned}&l_{1}(v_{1})=l_{1}(v_{2})=w\\&l_{2}(v_{1}\otimes v_{2})=v_{1},l_{2}(v_{1}\otimes w)=w\\&l_{n}(v_{2}\otimes w^{\otimes n-1})=C_{n}w{\text{ for }}n\geq 3\end{aligned}},}$

dónde${\displaystyle C_{n}=(-1)^{n-1}(n-3)C_{n-1},C_{3}=1}$. Tenga en cuenta que las primeras constantes son

${\displaystyle {\begin{matrix}C_{3}&C_{4}&C_{5}&C_{6}\\1&-1&-2&12\end{matrix}}}$

Desde${\displaystyle l_{1}(w)}$debería ser de grado${\displaystyle -1}$, los axiomas implican que${\displaystyle l_{1}(w)=0}$. Hay otros ejemplos similares para super ^{[ 6 ]} álgebras de Lie. ^{[ 7 ]} Además,${\displaystyle L_{\infty }}$Se han clasificado completamente las estructuras en espacios vectoriales graduados cuyo espacio vectorial subyacente es bidimensional. ^{[ 3 ]}