Filtrado homomórfico

El filtrado homomórfico es una técnica generalizada para el procesamiento de señales e imágenes, que implica un mapeo no lineal a un dominio diferente en el que se aplican técnicas de filtrado lineal, seguido de un mapeo de vuelta al dominio original. Este concepto fue desarrollado en la década de 1960 por Thomas Stockham , Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer en el MIT ^{[ 1 ]} e independientemente por Bogert, Healy y Tukey en su estudio de series temporales ^{[ 2 ] .}

El filtrado homomórfico se utiliza a veces para mejorar la imagen . Normaliza simultáneamente el brillo y aumenta el contraste. En este caso, se emplea para eliminar el ruido multiplicativo . La iluminación y la reflectancia no son separables, pero se pueden determinar sus ubicaciones aproximadas en el dominio de la frecuencia. Dado que la iluminación y la reflectancia se combinan multiplicativamente, sus componentes se vuelven aditivas al tomar el logaritmo de la intensidad de la imagen, de modo que estos componentes multiplicativos se pueden separar linealmente en el dominio de la frecuencia. Las variaciones de iluminación pueden considerarse como ruido multiplicativo y se pueden reducir mediante filtrado en el dominio logarítmico.

Para lograr una iluminación más uniforme de una imagen, se incrementan los componentes de alta frecuencia y se disminuyen los de baja frecuencia, ya que se supone que los componentes de alta frecuencia representan principalmente la reflectancia de la escena (la cantidad de luz reflejada por el objeto), mientras que los componentes de baja frecuencia representan principalmente la iluminación de la escena. Es decir, se utiliza un filtro de paso alto para suprimir las bajas frecuencias y amplificar las altas, en el dominio de la intensidad logarítmica. ^{[ 3 ]}

Operación

El filtrado homomórfico puede utilizarse para mejorar el aspecto de una imagen en escala de grises mediante la compresión simultánea del rango de intensidad (iluminación) y la mejora del contraste (reflexión).

${\displaystyle m(x,y)=i(x,y)\bullet r(x,y)}$

Dónde,

m = imagen,

i = iluminación,

r = reflectancia

Debemos transformar la ecuación al dominio de la frecuencia para aplicar un filtro de paso alto. Sin embargo, resulta muy difícil realizar cálculos después de aplicar la transformada de Fourier a esta ecuación, ya que deja de ser una ecuación de producto. Por lo tanto, utilizamos el logaritmo para ayudar a resolver este problema.

${\displaystyle \ln(m(x,y))=\ln(i(x,y))+\ln(r(x,y))}$

Luego, aplicando la transformada de Fourier

${\displaystyle \digamma (ln(m(x,y)))=\digamma (ln(i(x,y)))+\digamma (ln(r(x,y)))}$

O ${\displaystyle M(u,v)=I(u,v)+R(u,v)}$

A continuación, se aplica un filtro de paso alto a la imagen. Para lograr una iluminación más uniforme, se aumentan los componentes de alta frecuencia y se disminuyen los de baja frecuencia.

${\displaystyle N(u,v)=H(u,v)\bullet M(u,v)}$

Dónde

H = cualquier filtro de paso alto

N = imagen filtrada en el dominio de la frecuencia

Posteriormente, se regresa del dominio de la frecuencia al dominio espacial mediante la transformada inversa de Fourier.

${\displaystyle n(x,y)=invF(N(u,v))}$

Finalmente, utilizando la función exponencial para eliminar el logaritmo que usamos al principio para obtener la imagen mejorada.

${\displaystyle nuevaImagen(x,y)=exp(n(x,y))}$^{[ 4 ]}

Las siguientes figuras muestran los resultados de aplicar el filtro homomórfico, el filtro de paso alto y la combinación de ambos. Todas las figuras se generaron con Matlab.

Figura 1: Imagen original: trees.tif

Figura 2: Aplicación de un filtro homomórfico a la imagen original.

Figura 3: Aplicación de un filtro de paso alto a la figura 2

Figura 4: Aplicación de un filtro de paso alto a la imagen original (figura 1).

Según las figuras uno a cuatro, podemos observar cómo se utiliza el filtrado homomórfico para corregir la iluminación no uniforme en la imagen, logrando una mayor nitidez que la original. Por otro lado, si aplicamos un filtro de paso alto a la imagen filtrada homomórficamente, los bordes se vuelven más nítidos y las demás áreas se oscurecen. Este resultado es similar al de aplicar únicamente un filtro de paso alto a la imagen original.

Se ha sugerido que muchas cámaras ya tienen una función de respuesta aproximadamente logarítmica (o, más generalmente, una función de respuesta que tiende a comprimir el rango dinámico), y los medios de visualización, como las pantallas de televisión, los soportes fotográficos impresos, etc., tienen una respuesta aproximadamente antilogarítmica, o una respuesta que expande el rango dinámico. Por lo tanto, el filtrado homomórfico ocurre accidentalmente (involuntariamente) siempre que procesamos los valores de píxeles f(q) en la verdadera unidad cuantitativa de luz q. Por consiguiente, se ha propuesto que otro tipo útil de filtrado es el filtrado antihomomórfico, en el que las imágenes f(q) se expanden primero en rango dinámico para recuperar la luz q real, sobre la cual se realiza un filtrado lineal, seguido de una compresión del rango dinámico de vuelta al espacio de la imagen para su visualización. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

El filtrado homomórfico se utiliza en el dominio logarítmico-espectral para separar los efectos del filtro de los efectos de excitación, por ejemplo, en el cálculo del cepstrum como representación del sonido; las mejoras en el dominio logarítmico-espectral pueden mejorar la inteligibilidad del sonido, por ejemplo, en los audífonos . ^{[ 9 ]}

Se ha utilizado el filtrado homomórfico para eliminar el efecto del tren de impulsos estocásticos, que origina la señal sEMG, del espectro de potencia de la propia señal sEMG. De esta forma, solo se conservó la información sobre la forma y la amplitud del potencial de acción de la unidad motora (PAUM); esta información se utilizó posteriormente para estimar los parámetros de un modelo en el dominio del tiempo del propio PAUM. ^{[ 10 ]}

Cómo las neuronas individuales o las redes codifican la información es objeto de numerosos estudios e investigaciones. En el sistema nervioso central, esto ocurre principalmente alterando la frecuencia de disparo de los potenciales de acción (codificación de frecuencia) o la sincronización relativa de los potenciales de acción (codificación temporal). ^{[ 11 ] [ 12 ]} La codificación temporal consiste en alterar los intervalos aleatorios entre potenciales de acción (ISI) del tren de impulsos estocásticos en la salida de una neurona. En este último caso, se utilizó el filtrado homomórfico para obtener variaciones de ISI a partir del espectro de potencia del tren de potenciales de acción en la salida de una neurona con ^{[ 13 ]} o sin ^{[ 14 ]} el uso de la actividad neuronal espontánea. Las variaciones de ISI fueron causadas por una señal sinusoidal de entrada de frecuencia desconocida y pequeña amplitud, es decir, insuficiente, en ausencia de ruido, para excitar el estado de disparo. La frecuencia de la señal sinusoidal se recuperó utilizando procedimientos basados ​​en el filtrado homomórfico.

• Procesamiento de imágenes digitales
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• AV Oppenheim, RW Schafer, TG Stockham " Filtrado no lineal de señales multiplicadas y convolucionadas " Actas del IEEE Volumen 56 N.° 8 Agosto de 1968 páginas 1264–1291

• Descripción general del filtrado homomórfico