Homogeneización asintótica

En matemáticas y física , la homogeneización es un método para estudiar ecuaciones diferenciales parciales con coeficientes que oscilan rápidamente, ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} como por ejemplo:

${\displaystyle \nabla \cdot \left(A\left({\frac {\vec {x}}{\epsilon }}\right)\nabla u_{\epsilon }\right)=f}$

dónde${\displaystyle \epsilon }$es un parámetro muy pequeño y ${\displaystyle A\left({\vec {y}}\right)}$es un coeficiente 1-periódico: ${\displaystyle A\left({\vec {y}}+{\vec {e}}_{i}\right)=A\left({\vec {y}}\right)}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$.

Resulta que el estudio de estas ecuaciones también es de gran importancia en física e ingeniería, ya que ecuaciones de este tipo rigen la física de materiales no homogéneos o heterogéneos. Por supuesto, toda materia es no homogénea en alguna escala, pero con frecuencia es conveniente tratarla como homogénea. Un buen ejemplo es el concepto de continuo que se utiliza en la mecánica de medios continuos . Bajo esta suposición, materiales como fluidos , sólidos , etc., pueden tratarse como materiales homogéneos y se les asocian propiedades materiales como el módulo de cizalladura , los módulos elásticos , etc.

Con frecuencia, los materiales no homogéneos (como los materiales compuestos ) poseen microestructura y, por lo tanto, están sometidos a cargas o fuerzas que varían en una escala de longitud mucho mayor que la escala de longitud característica de la microestructura. En esta situación, a menudo se puede reemplazar la ecuación anterior por una ecuación de la forma

${\displaystyle \nabla \cdot \left(A^{*}\nabla u\right)=f}$

dónde${\displaystyle A^{*}}$es un coeficiente tensorial constante y se conoce como la propiedad efectiva asociada con el material en cuestión. Se puede calcular explícitamente como

${\displaystyle A_{ij}^{*}=\int _{(0,1)^{n}}A({\vec {y}})\left(\nabla w_{j}({\vec {y}})+{\vec {e}}_{j}\right)\cdot {\vec {e}}_{i}\,dy_{1}\dots dy_{n},\qquad i,j=1,\dots ,n}$

a partir de funciones 1-periódicas${\displaystyle w_{j}}$ satisfactorio:

${\displaystyle \nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}})\nabla w_{j}\right)=-\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}}){\vec {e}}_{j}\right).}$

Este proceso de sustituir una ecuación con un coeficiente altamente oscilatorio por otra con un coeficiente homogéneo (uniforme) se conoce como homogeneización . Por esta misma razón, este tema está intrínsecamente ligado al de la micromecánica .

En la homogeneización, una ecuación se reemplaza por otra si${\displaystyle u_{\epsilon }\approx u}$ para lo suficientemente pequeño${\displaystyle \epsilon }$, proporcionó ${\displaystyle u_{\epsilon }\to u}$en alguna norma apropiada como${\displaystyle \epsilon \to 0}$.

Como resultado de lo anterior, la homogeneización puede considerarse una extensión del concepto de continuo a materiales que poseen microestructura. El análogo del elemento diferencial en el concepto de continuo (que contiene suficiente estructura atómica o molecular para ser representativo de ese material) se conoce como el " Elemento de Volumen Representativo " ^{[ 4 ]} en homogeneización y micromecánica. Este elemento contiene suficiente información estadística sobre el medio no homogéneo para ser representativo del material. Por lo tanto, promediar sobre este elemento da una propiedad efectiva como${\displaystyle A^{*}}$arriba.

Los resultados clásicos de la teoría de homogeneización ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} se obtuvieron para medios con microestructura periódica modelados mediante ecuaciones diferenciales parciales con coeficientes periódicos. Estos resultados se generalizaron posteriormente a medios aleatorios espacialmente homogéneos modelados mediante ecuaciones diferenciales con coeficientes aleatorios cuyas propiedades estadísticas son las mismas en cada punto del espacio. ^{[ 5 ] [ 6 ]} En la práctica, muchas aplicaciones requieren una forma de modelado más general que no sea ni periódica ni estadísticamente homogénea. Para ello, los métodos de la teoría de homogeneización se han extendido a ecuaciones diferenciales parciales cuyos coeficientes no son ni periódicos ni estadísticamente homogéneos (los llamados coeficientes arbitrariamente irregulares). ^{[ 7 ] [ 8 ]}

La teoría de la homogeneización matemática se remonta a las escuelas francesa, rusa e italiana. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 9 ]} El método de homogeneización asintótica procede introduciendo la variable rápida.${\displaystyle {\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon }$y planteando una expansión formal en${\displaystyle \epsilon }$:

${\displaystyle u_{\epsilon }({\vec {x}})=u({\vec {x}},{\vec {y}})=u_{0}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon u_{1}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon ^{2}u_{2}({\vec {x}},{\vec {y}})+O(\epsilon ^{3})\,}$

lo que genera una jerarquía de problemas. Se obtiene la ecuación homogeneizada y se determinan los coeficientes efectivos resolviendo los llamados "problemas de celda" para la función.${\displaystyle u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )}$.

• Análisis asintótico
• Γ-convergencia
• Convergencia de Moscú
• aproximaciones del medio efectivo

• Kozlov, SM; Oleinik, OA ; Zhikov, VV (1994), Homogeneización de operadores diferenciales y funcionales integrales , Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 3-540-54809-2, Zbl 0838.35001 
• Oleinik, OA ; Shamaev, AS; Yosifian, GA (1991), Problemas matemáticos en elasticidad y homogeneización , Estudios en Matemáticas y sus Aplicaciones, vol.  26, Ámsterdam - Londres - Nueva York - Tokio : North-Holland , ISBN 0-444-88441-6, Zbl 0768.73003 
• Hornung, Ulrich (Ed.). (1997), Homogeneización y medios porosos , Matemáticas aplicadas interdisciplinarias, vol.  6, Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1920-0 , ISBN 978-1-4612-7339-4
• Bakhvalov, NS ; Panasenko, GP (1984), Promediación de procesos en medios periódicos (traducción al inglés: Kluwer, 1989) , Moscú : Nauka , Zbl 0607.73009 
• Braides, A.; Defranceschi, A. (1998), Homogeneización de integrales múltiples , Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, Oxford : Clarendon Press , ISBN 978-0-198-50246-3