Forma modular de Hilbert

En matemáticas , una forma modular de Hilbert es una generalización de las formas modulares a funciones de dos o más variables. Es una función analítica (compleja) definida sobre el producto m -ésimo de semiplanos superiores.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$que satisface cierto tipo de ecuación funcional .

Sea F un cuerpo de números totalmente reales de grado m sobre el cuerpo racional.${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}}$sean las incrustaciones reales de F. A través de ellas tenemos un mapa.

${\displaystyle GL_{2}(F)\to GL_{2}(\mathbb {R} )^{m}}$

envío${\displaystyle \gamma }$a${\displaystyle (\sigma _{1}(\gamma ),\ldots ,\sigma _{m}(\gamma ).}$Dejar${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$Sea el anillo de enteros de F. El grupo${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$El conjunto de matrices con determinante totalmente positivo se denomina grupo modular de Hilbert completo . Existe una acción de grupo de${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$en${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$definido por${\displaystyle \gamma \cdot (z_{1},\ldots ,z_{m})=(\sigma _{1}(\gamma )z_{1},\ldots ,\sigma _{m}(\gamma )z_{m})}$.

Para

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL_{2}(\mathbb {R} ),}$

definir:

${\displaystyle j(g,z)=\det(g)^{-1/2}(cz+d)}$

Una forma modular de Hilbert de peso${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$es una función analítica en${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$de tal manera que para cada${\displaystyle \gamma \in GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$

${\displaystyle f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}$

Si${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$entonces también hay que añadir una condición de acotación adicional en las cúspides; sin embargo, para campos más grandes${\displaystyle F}$Esta condición se cumple automáticamente debido al principio de Koecher .

Estas formas modulares, para cuerpos cuadráticos reales , fueron tratadas por primera vez en la tesis de habilitación de Otto Blumenthal , publicada en la Universidad de Gotinga en 1901. En ella, Blumenthal menciona que David Hilbert las había considerado inicialmente en un trabajo de 1893-1894, que permaneció inédito. El trabajo de Blumenthal se publicó en 1903. Por esta razón, las formas modulares de Hilbert se conocen ahora a menudo como formas modulares de Hilbert-Blumenthal .

La teoría permaneció latente durante algunas décadas; Erich Hecke recurrió a ella en sus primeros trabajos, pero el verdadero interés por las formas modulares de Hilbert llegó con el desarrollo de la teoría de las variedades complejas .

• Forma modular de Siegel
• Superficie modular Hilbert

• Jan H. Bruinier: Formas modulares de Hilbert y sus aplicaciones.
• Paul B. Garrett : Formas modulares de Hilbert holomorfas . Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
• Eberhard Freitag : Formas modulares de Hilbert . Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5