El vigésimo cuarto problema de Hilbert

El problema número veinticuatro de Hilbert es un problema matemático que no se publicó como parte de la lista de 23 problemas (conocidos como problemas de Hilbert ), pero que sí se incluyó en las notas originales de David Hilbert . El problema plantea un criterio de simplicidad en las demostraciones matemáticas y el desarrollo de una teoría de la demostración capaz de probar que una demostración dada es la más simple posible. ^{[ 1 ]}

El problema número 24 fue redescubierto por el historiador alemán Rüdiger Thiele en el año 2000, quien observó que Hilbert no lo incluyó en la conferencia donde presentó sus problemas ni en ningún texto publicado. Los amigos y colegas matemáticos de Hilbert, Adolf Hurwitz y Hermann Minkowski, participaron activamente en el proyecto, pero desconocían la existencia de este problema.

Este es el texto completo de las notas de Hilbert que aparecen en el artículo de Rüdiger Thiele. La sección fue traducida por Rüdiger Thiele. ^{[ 1 ] : 2}

El problema número 24 de mi conferencia en París iba a ser: Criterios de simplicidad, o prueba de la mayor simplicidad de ciertas pruebas. Desarrollar una teoría del método de prueba en matemáticas en general. Bajo un conjunto dado de condiciones, solo puede haber una prueba más simple. En general, si hay dos pruebas para un teorema, hay que seguir hasta derivar una de la otra, o hasta que resulte evidente qué condiciones variantes (y ayudas) se han utilizado en ambas pruebas. Dadas dos rutas, no es correcto tomar ninguna de ellas ni buscar una tercera; es necesario investigar el área que se encuentra entre las dos rutas. Los intentos de juzgar la simplicidad de una prueba se encuentran en mi examen de sizigias y sizigias [Hilbert escribió mal la palabra sizigias] entre sizigias (véase Hilbert 42, conferencias XXXII-XXXIX). El uso o el conocimiento de una sizigia simplifica de manera esencial una prueba de que cierta identidad es verdadera. Dado que cualquier proceso de adición es una aplicación de la ley conmutativa de la suma, etc., y puesto que esto siempre corresponde a teoremas geométricos o conclusiones lógicas, se pueden contabilizar estos procesos y, por ejemplo, al demostrar ciertos teoremas de geometría elemental (el teorema de Pitágoras , teoremas sobre puntos notables de triángulos), se puede determinar fácilmente cuál de las demostraciones es la más sencilla. [Nota del autor: Parte de la última frase no solo es apenas legible en el cuaderno de Hilbert, sino que además es gramaticalmente incorrecta. Las correcciones e inserciones que Hilbert realizó en esta entrada demuestran que escribió el problema con prisa.]

En 2002, Thiele y Larry Wos publicaron un artículo sobre el vigésimo cuarto problema de Hilbert con una discusión sobre su relación con varios temas en razonamiento automatizado , lógica y matemáticas. ^{[ 2 ]}