El decimosexto problema de Hilbert

El problema número 16 de Hilbert fue planteado por David Hilbert en la conferencia de París del Congreso Internacional de Matemáticos en 1900, como parte de su lista de 23 problemas en matemáticas . ^{[ 1 ]}

El problema original se planteó como el Problema de la topología de curvas y superficies algebraicas ( Problema der Topologie algebraischer Kurven und Flächen ).

En realidad, el problema consiste en dos problemas similares en diferentes ramas de las matemáticas:

• Una investigación de las posiciones relativas de las ramas de curvas algebraicas reales de grado n (y de manera similar para superficies algebraicas ).
• Determinación del límite superior para el número de ciclos límite en campos vectoriales polinomiales bidimensionales de grado n e investigación de sus posiciones relativas.

El primer problema aún no se ha resuelto para n  =  8. Por lo tanto, este problema es al que se suele referirse cuando se habla del decimosexto problema de Hilbert en geometría algebraica real . El segundo problema también permanece sin resolver: no se conoce ninguna cota superior para el número de ciclos límite para ningún n  >  1, y esto es a lo que se suele referirse el decimosexto problema de Hilbert en el campo de los sistemas dinámicos .

La Real Sociedad Española de Matemáticas publicó una explicación del decimosexto problema de Hilbert. ^{[ 2 ]}

En 1876, Harnack investigó las curvas algebraicas en el plano proyectivo real y descubrió que las curvas de grado n no podían tener más de

${\displaystyle {n^{2}-3n+4 \over 2}}$

componentes separadas conectadas . Además, mostró cómo construir curvas que alcanzaran ese límite superior, y por lo tanto, que era el mejor límite posible. Las curvas con ese número de componentes se denominan curvas M.

Hilbert había investigado las curvas M de grado 6 y descubrió que sus 11 componentes siempre se agrupaban de una manera determinada. Su reto para la comunidad matemática consistía ahora en investigar exhaustivamente las posibles configuraciones de las componentes de las curvas M.

Además, solicitó una generalización del teorema de la curva de Harnack a superficies algebraicas y una investigación similar de superficies con el número máximo de componentes.

Aquí vamos a considerar campos vectoriales polinomiales en el plano real , es decir, un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma:

${\displaystyle {dx \over dt}=P(x,y),\qquad {dy \over dt}=Q(x,y)}$

donde tanto P como Q son polinomios reales de grado n .

Estos campos vectoriales polinomiales fueron estudiados por Poincaré , quien tuvo la idea de abandonar la búsqueda de soluciones exactas para el sistema y, en cambio, intentó estudiar las características cualitativas del conjunto de todas las soluciones posibles.

Entre muchos descubrimientos importantes, halló que los conjuntos límite de dichas soluciones no tienen por qué ser un punto estacionario , sino que pueden ser una solución periódica. Estas soluciones se denominan ciclos límite .

La segunda parte del problema número 16 de Hilbert consiste en determinar una cota superior para el número de ciclos límite en campos vectoriales polinomiales de grado n y, de forma similar a la primera parte, investigar sus posiciones relativas.

En su discurso, Hilbert presentó los problemas como: ^{[ 1 ]}

Harnack (Mathematische Annalen, 10) determinó el límite superior de las ramas cerradas y separadas de una curva algebraica de grado n ; de ahí surge la cuestión de las posiciones relativas de las ramas en el plano. En cuanto a las curvas de grado 6, me he convencido —aunque de forma bastante elaborada— de que las 11 ramas que pueden tener, según Harnack, nunca pueden ser todas separadas; más bien, debe existir una rama que tenga otra rama en su interior y nueve ramas en su exterior, o en sentido opuesto. Me parece que una investigación exhaustiva de las posiciones relativas del límite superior para ramas separadas es de gran interés, al igual que la investigación correspondiente del número, la forma y la posición de las hojas de una superficie algebraica en el espacio; aún se desconoce cuántas hojas puede tener como máximo una superficie de grado 4 en el espacio tridimensional. (cf. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preissschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886)

Hilbert continúa: ^{[ 1 ]}

Tras este problema puramente algebraico, quisiera plantear una cuestión que, a mi parecer, puede abordarse mediante el mismo método de cambio continuo de coeficientes, y cuya respuesta es de importancia similar a la topología de las familias de curvas definidas por ecuaciones diferenciales; es decir, la cuestión del límite superior y la posición de los ciclos límite de Poincaré para una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

${\displaystyle {dy \over dx}={Y \over X}}$

donde X , Y son funciones racionales enteras de grado n en x , y respectivamente , o escritas de forma homogénea:

${\displaystyle X\left(y{dz \over dt}-z{dy \over dt}\right)+Y\left(z{dx \over dt}-x{dz \over dt}\right)+Z\left(x{dy \over dt}-y{dx \over dt}\right)=0}$

donde X , Y , Z significan funciones enteras, racionales y homogéneas de grado n en x , y , z y estas últimas deben considerarse función del parámetro t . 

• Problema de Hilbert-Arnold
• Los problemas de Hilbert

• 16.º problema de Hilbert: cálculo de cantidades de Lyapunov y ciclos límite en sistemas dinámicos bidimensionales. Archivado el 3 de diciembre de 2013 en Wayback Machine.